基本的な行列の問題

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}x-1& 1& x\\ 1& x-1& x\\ 1& 1& x-1\end{array}\right|}$

1行1列目を1とするために，行列式の交代性を用いて1行目と2行目を入れ替える．このときに符号が代わることに注意する．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}1& x-1& x\\ x-1& 1& x\\ 1& 1& x-1\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行× ${\displaystyle \left\{-\left(x-1\right)\right\}}$ ，3行+1行×(-1)の計算をする．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}1& x-1& x\\ 0& 1-{\left(x-1\right)}^2& x-x\left(x+1\right)\\ 0& -x+2& -1\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて計算式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cc}-x^2+2x& -x^2+2x\\ -x+2& -1\end{array}\right|}$

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cc}-x\left(x+2\right)& -x\left(x+2\right)\\ -x+2& -1\end{array}\right|}$

1行目の成分はともに ${\displaystyle -x\left(x+2\right)}$ なので，定数倍の性質を用いてくくりだす．

${\displaystyle =x\left(x+2\right)\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -x+2& -1\end{array}\right|}$

${\displaystyle =x\left(x+2\right)\left(-1+x-2\right)}$

${\displaystyle =x\left(x-2\right)\left(x-3\right)}$