基本的な行列の問題

■問題

次の連立1次方程式をクラメルの公式を用いて解け．

${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}a-2b-c+2d=3\\ -2a+b+3c-2d=0\\ -a-b+2c+2d=1\\ 3a+4b-c+d=-2\end{array}\right.}$

■答

${\displaystyle a=3}$，${\displaystyle b=-2}$，${\displaystyle c=2}$，${\displaystyle d=-1}$

■計算

${\displaystyle \left|A\right|}$ ${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}1& -2& -1& 2\\ -2& 1& 3& -2\\ -1& -1& 2& 2\\ 3& 4& -1& 1\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2，3行+1行，4行+1行×(-3)の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}1& -2& -1& 2\\ 0& -3& 1& 2\\ 0& -3& 1& 4\\ 0& 10& 2& -5\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}-3& 1& 2\\ -3& 1& 4\\ 10& 2& -5\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて3行+1行×3の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}-3& 1& 2\\ -3& 1& 4\\ 1& 5& 1\end{array}\right|}$

1行1列目を1にするために，行列式の交代性を用いて3行目と1行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}1& 5& 1\\ -3& 1& 4\\ -3& 1& 2\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×3，3行+1行×3の計算をする．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}1& 5& 1\\ 0& 16& 7\\ 0& 16& 5\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cc}16& 7\\ 16& 5\end{array}\right|}$

1列目がともに16となっているので，定数倍の性質を用いて1列目から16をくくりだす．

${\displaystyle =-16\left|\begin{array}{cc}1& 7\\ 1& 5\end{array}\right|}$

${\displaystyle =-16\left(5-7\right)}$

${\displaystyle =32}$

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle =\frac{1}{32}\left|\begin{array}{cccc}3& -2& -1& 2\\ 0& 1& 3& -2\\ 1& -1& 2& 2\\ -2& 4& -1& 1\end{array}\right|}$

1行1列目を1にするために，行列式の交代性を用いて3行目と1行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

${\displaystyle =-\frac{1}{32}\left|\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 2\\ 0& 1& 3& -2\\ 3& -2& -1& 2\\ -2& 4& -1& 1\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて3行+1行×(-3)，4行+1行×2の計算をする．

${\displaystyle =-\frac{1}{32}\left|\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 2\\ 0& 1& 3& -2\\ 0& 1& -7& -4\\ 0& 2& 3& 5\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\frac{1}{32}\left|\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ 1& -7& -4\\ 2& 3& 5\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行-1行，3行+1行×(-2)の計算をする．

${\displaystyle =-\frac{1}{32}\left|\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ 0& -10& -2\\ 0& -3& 9\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\frac{1}{32}\left|\begin{array}{cc}-10& -2\\ -3& 9\end{array}\right|}$

1行目が−2の倍数になっているので，定数倍の性質を用いて1行目より−2をくくりだす．

${\displaystyle =\frac{1}{16}\left|\begin{array}{cc}5& 1\\ -3& 9\end{array}\right|}$

${\displaystyle =\frac{1}{16}\left(45+3\right)}$

${\displaystyle =3}$

${\displaystyle b}$ ${\displaystyle =\frac{1}{32}\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -1& 2\\ -2& 0& 3& -2\\ -1& 1& 2& 2\\ 3& -2& -1& 1\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2，3行+1行，4行+1行×(-3)の計算をする．

${\displaystyle =\frac{1}{32}\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -1& 2\\ 0& 6& 1& 2\\ 0& 4& 1& 4\\ 0& -11& 2& -5\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\frac{1}{32}\left|\begin{array}{ccc}6& 1& 2\\ 4& 1& 4\\ -11& 2& -5\end{array}\right|}$

1行1列目を1にするために，行列式の交代性を用いて2列目と1列目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

${\displaystyle =-\frac{1}{32}\left|\begin{array}{ccc}1& 6& 2\\ 1& 4& 4\\ 2& -11& -5\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行-1行，3行-1行×2の計算をする．

${\displaystyle =-\frac{1}{32}\left|\begin{array}{ccc}1& 6& 2\\ 0& -2& 2\\ 0& -23& -9\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\frac{1}{32}\left|\begin{array}{cc}-2& 2\\ -23& -9\end{array}\right|}$

1行目が-2の倍数になっているので，定数倍の性質を用いて行列式を簡単にする．

${\displaystyle =\frac{1}{16}\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -23& -9\end{array}\right|}$

${\displaystyle =\frac{1}{16}\left(-9-23\right)}$

${\displaystyle =-2}$

${\displaystyle c}$ ${\displaystyle =\frac{1}{32}\left|\begin{array}{cccc}1& -2& 3& 2\\ -2& 1& 0& -2\\ -1& -1& 1& 2\\ 3& 4& -2& 1\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2，3行+1行，4行+1行×(-3)の計算をする．

${\displaystyle =\frac{1}{32}\left|\begin{array}{cccc}1& -2& 3& 2\\ 0& -3& 6& 2\\ 0& -3& 4& 4\\ 0& 10& -11& -5\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\frac{1}{32}\left|\begin{array}{ccc}-3& 6& 2\\ -3& 4& 4\\ 10& -11& -5\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて3行+1行×3の計算をする．

${\displaystyle =\frac{1}{32}\left|\begin{array}{ccc}-3& 6& 2\\ -3& 4& 4\\ 1& 7& 1\end{array}\right|}$

1行1列目を1にするために，行列式の交代性を用いて3行目と1行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

${\displaystyle =-\frac{1}{32}\left|\begin{array}{ccc}1& 7& 1\\ -3& 4& 4\\ -3& 6& 2\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×3，3行+1行×3の計算をする．

${\displaystyle =-\frac{1}{32}\left|\begin{array}{ccc}1& 7& 1\\ 0& 25& 7\\ 0& 27& 5\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\frac{1}{32}\left|\begin{array}{cc}25& 7\\ 27& 5\end{array}\right|}$

${\displaystyle =-\frac{1}{32}\left(125-189\right)}$

${\displaystyle =2}$

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle =\frac{1}{32}\left|\begin{array}{cccc}1& -2& -1& 3\\ -2& 1& 3& 0\\ -1& -1& 2& 1\\ 3& 4& -1& -2\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2，3行+1行，4行+1行×(-3)の計算をする．

${\displaystyle =\frac{1}{32}\left|\begin{array}{cccc}1& -2& -1& 3\\ 0& -3& 1& 6\\ 0& -3& 1& 4\\ 0& 10& 2& -11\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\frac{1}{32}\left|\begin{array}{ccc}-3& 1& 6\\ -3& 1& 4\\ 10& 2& -11\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて3行+1行×3の計算をする．

${\displaystyle =\frac{1}{32}\left|\begin{array}{ccc}-3& 1& 6\\ -3& 1& 4\\ 1& 5& 7\end{array}\right|}$

1行1列目を1にするために，行列式の交代性を用いて3行目と1行目を入れ替える．

${\displaystyle =-\frac{1}{32}\left|\begin{array}{ccc}1& 5& 7\\ -3& 1& 4\\ -3& 1& 6\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×3，3行+1行×3の計算をする．

${\displaystyle =-\frac{1}{32}\left|\begin{array}{ccc}1& 5& 7\\ 0& 16& 25\\ 0& 16& 27\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\frac{1}{32}\left|\begin{array}{cc}16& 25\\ 16& 27\end{array}\right|}$

1列目がともに16なので，定数倍の性質を用いて1列目から16をくくりだす．

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}1& 25\\ 1& 27\end{array}\right|}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left(27-25\right)}$

${\displaystyle =-1}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年6月15日