基本的な行列の問題

■問題

次の連立1次方程式をクラメルの公式を用いて解け．

${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}a+2b+2c-3d=-5\\ -2a+b-2c+2d=-2\\ -a-b+\mathrm{3c}-d=-2\\ -2a-2b+c+d=1\end{array}\right.}$

■答

${\displaystyle a=1}$，${\displaystyle b=-2}$，${\displaystyle c=-1}$，${\displaystyle d=0}$

■計算

${\displaystyle \left|A\right|}$ ${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 2& -3\\ -2& 1& -2& 2\\ -1& -1& 3& -1\\ -2& -2& 1& 1\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2，3行+1行，4行+1行×2の計算をする．

　

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 2& -3\\ 0& 5& 2& -4\\ 0& 1& 5& -4\\ 0& 2& 5& -5\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}5& 2& -4\\ 1& 5& -4\\ 2& 5& -5\end{array}\right|}$

1行1列目の成分を1にするために，行列式の交代制を用いて1行目と2行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}1& 5& -4\\ 5& 2& -4\\ 2& 5& -5\end{array}\right|}$

3列目の成分がすべて負の数字なので定数倍の性質を用いて3列目から−1をくくりだす．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& 5& 4\\ 5& 2& 4\\ 2& 5& 5\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-5)，3行+1行×(-2)の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& 5& 4\\ 0& -23& -16\\ 0& -5& -3\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}-23& -16\\ -5& -3\end{array}\right|}$

1行目，2行目ともに負の数字なので，定数倍の性質を用いて行列式を簡単にする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}23& 16\\ 5& 3\end{array}\right|}$

${\displaystyle =69-80}$

${\displaystyle =-11}$

${\displaystyle a}$${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cccc}-5& 2& 2& -3\\ -2& 1& -2& 2\\ -2& -1& 3& -1\\ 1& -2& 1& 1\end{array}\right|}$

1行1列目の成分を1にするために，行列式の交代制を用いて1行目と4行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

${\displaystyle =\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 1\\ -2& 1& -2& 2\\ -2& -1& 3& -1\\ -5& 2& 2& -3\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2，3行+1行×2，4行+1行×5の計算をする．

${\displaystyle =\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 1\\ 0& -3& 0& 4\\ 0& -5& 5& 1\\ 0& -8& 7& 2\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\frac{1}{11}\left|\begin{array}{ccc}-3& 0& 4\\ -5& 5& 1\\ -8& 7& 2\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて3行+1行×(-3)の計算をする．

${\displaystyle =\frac{1}{11}\left|\begin{array}{ccc}-3& 0& 4\\ -5& 5& 1\\ 1& 7& -10\end{array}\right|}$

1行1列目の成分を1にするために，行列式の交代制を用いて1行目と3行目を入れ替える．

${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{ccc}1& 7& -10\\ -5& 5& 1\\ -3& 0& 4\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+2行×5，3行+1行×3の計算をする．

${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{ccc}1& 7& -10\\ 0& 40& -49\\ 0& 21& -26\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cc}40& -49\\ 21& -26\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2列+1列の計算をする．

${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cc}40& -9\\ 21& -5\end{array}\right|}$

${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left(-200+189\right)}$

${\displaystyle =1}$

${\displaystyle b}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cccc}1& -5& 2& -3\\ -2& -2& -2& 2\\ -1& -2& 3& -1\\ -2& 1& 1& 1\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2，3行+1行，4行+1行×2の計算をする．

${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cccc}1& -5& 2& -3\\ 0& -12& 2& -4\\ 0& -7& 5& -4\\ 0& -9& 5& -5\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{ccc}-12& 2& -4\\ -7& 5& -4\\ -9& 5& -5\end{array}\right|}$

1列目と3列目のようそがともに負の数字なので，定数倍の性質を用いて1列目と3列目から−1をくくりだす．

${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{ccc}12& 2& 4\\ 7& 5& 4\\ 9& 5& 5\end{array}\right|}$

1行目の成分が2の倍数なので，定数倍の性質を用いて1行目から2をくくりだす．

${\displaystyle =-\frac{2}{11}\left|\begin{array}{ccc}6& 1& 2\\ 7& 5& 4\\ 9& 5& 5\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-1)の計算をする．

${\displaystyle =-\frac{2}{11}\left|\begin{array}{ccc}6& 1& 2\\ 1& 4& 2\\ 9& 5& 5\end{array}\right|}$

1行1列目の成分を1にするために，行列式の交代制を用いて1行目と2行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

${\displaystyle =\frac{2}{11}\left|\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 6& 1& 2\\ 9& 5& 5\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-6)，3行+1行×(-9)の計算をする．

${\displaystyle =\frac{2}{11}\left|\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 0& -23& -10\\ 0& -31& -13\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\frac{2}{11}\left|\begin{array}{cc}-23& -10\\ -31& -13\end{array}\right|}$

1行目，2行目ともに成分が負の数字なので定数倍の性質を用いて1行目と2行目から−1をくくりだす．

${\displaystyle =\frac{2}{11}\left|\begin{array}{cc}23& 10\\ 31& 13\end{array}\right|}$

${\displaystyle =\frac{2}{11}\left(299-310\right)}$

${\displaystyle =-2}$

${\displaystyle c}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cccc}1& 2& -5& -3\\ -2& 1& -2& 2\\ -1& -1& -2& -1\\ -2& -2& 1& 1\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2，3行+1行，4行+1行×2の計算をする．

${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cccc}1& 2& -5& -3\\ 0& 5& -12& -4\\ 0& 1& -7& -4\\ 0& 2& -9& -5\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{ccc}5& -12& -4\\ 1& -7& -4\\ 2& -9& -5\end{array}\right|}$

1行1列目の成分を1にするために，行列式の交代制を用いて1行目と2行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

${\displaystyle =\frac{1}{11}\left|\begin{array}{ccc}1& -7& -4\\ 5& -12& -4\\ 2& -9& -5\end{array}\right|}$

2列目と3列目の成分が負の数字なので，定数倍の性質を用いて行列式を簡単にする．

${\displaystyle =\frac{1}{11}\left|\begin{array}{ccc}1& 7& 4\\ 5& 12& 4\\ 2& 9& 5\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-5)，3行+1行×(-2)の計算をする．

${\displaystyle =\frac{1}{11}\left|\begin{array}{ccc}1& 7& 4\\ 0& -23& -16\\ 0& -5& -3\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cc}-23& -16\\ -5& -3\end{array}\right|}$

1行目，2行目の成分が負の数字なので，定数倍の性質を用いて1行目と2行目から−1をくくりだす．

${\displaystyle =\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cc}23& 16\\ 5& 3\end{array}\right|}$

${\displaystyle =\frac{1}{11}\left(69-80\right)}$

${\displaystyle =-1}$

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 2& -5\\ -2& 1& -2& -2\\ -1& -1& 3& -2\\ -2& -2& 1& 1\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×２，3行+1行，4行+1行×2の計算をする．

${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 2& -5\\ 0& 5& 2& -12\\ 0& 1& 5& -7\\ 0& 2& 5& -9\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{ccc}5& 2& -12\\ 1& 5& -7\\ 2& 5& -9\end{array}\right|}$

1行1列目の成分を1にするために，行列式の交代制を用いて1行目と2行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

${\displaystyle =\frac{1}{11}\left|\begin{array}{ccc}1& 5& -7\\ 5& 2& -12\\ 2& 5& -9\end{array}\right|}$

3列目の成分が負の数字なので，定数倍の性質を用いて3行目から−1をくくりだす．

${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{ccc}1& 5& 7\\ 5& 2& 12\\ 2& 5& 9\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-5)，3行+1行×(-2)の計算をする．

${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{ccc}1& 5& 7\\ 0& -23& -23\\ 0& -5& -5\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cc}-23& -23\\ -5& -5\end{array}\right|}$

1行目，2行目の成分が負の数字なので，定数倍の性質を用いて1行目と2行目から−1をくくりだす．

${\displaystyle =-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cc}23& 23\\ 5& 5\end{array}\right|}$

${\displaystyle =0}$

よって，答えは

${\displaystyle a=1}$，${\displaystyle b=-2}$，${\displaystyle c=-1}$，${\displaystyle d=0}$

となる．

　

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月7日