基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}3& 4& 2& 1\\ -1& -1& 2& 1\\ 2& 6& 4& 2\\ 1& 3& 3& 2\end{array}\right|}$

■答

${\displaystyle 4}$

■計算

サラスの規則を使わずに２次の行列式なるまで次数を下げて計算してみる．

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}3& 4& 2& 1\\ -1& -1& 2& 1\\ 2& 6& 4& 2\\ 1& 3& 3& 2\end{array}\right|}$

行列式の交代性を用いて1行目と2行目を入れ替える．このとき符号が変わる．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cccc}-1& -1& 2& 1\\ 3& 4& 2& 1\\ 2& 6& 4& 2\\ 1& 3& 3& 2\end{array}\right|}$

3行目の成分が2の倍数になっている．よって，定数倍の性質を用いて行列式を簡単にする．

${\displaystyle =-2\left|\begin{array}{cccc}-1& -1& 2& 1\\ 3& 4& 2& 1\\ 1& 3& 2& 1\\ 1& 3& 3& 2\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2列+1列×(-1)，3列+1列×2，4列+1列の計算をする．

${\displaystyle =-2\left|\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 3& 1& 8& 4\\ 1& 2& 4& 2\\ 1& 2& 5& 3\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-2\times \left(-1\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 8& 4\\ 2& 4& 2\\ 2& 5& 3\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2列+3列×(-2)の計算をする．

${\displaystyle =2\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 4\\ 2& 0& 2\\ 2& -1& 3\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて3列+1列×(-4)の計算をする．

${\displaystyle =2\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 0& -6\\ 2& -1& -5\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =2\left|\begin{array}{cc}0& -6\\ -1& -5\end{array}\right|}$

${\displaystyle =2\times \left(0-6\right)}$

${\displaystyle =-12}$

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日