問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

最小値の計算

■問題

${\displaystyle x+y+z=1}$  のとき

${\displaystyle x^2+2y^2+z^2}$ の最小値とそのときのx ，y ，z の値をを求めよ．

■答

最小値は，${\displaystyle x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{5},z=\frac{2}{5}}$   のとき， ${\displaystyle \frac{2}{5}}$   となる．

■解説

${\displaystyle x+y+z=1}$の関係を用いて文字を減らす．今回は

${\displaystyle z=1-x-y}$  

として，z を消去する．

${\displaystyle x^2+2y^2+z^2=x^2+2y^2+{\left(1-x-y\right)}^2}$  ･･････(1)

(1)を x について整理し，平方完成していく（x に関して平方完成し，次に定数項（x を含まない項）をy に関して平方完成する）と

${\displaystyle =x^2+2y^2+1+x^2+y^2}$${\displaystyle -2x+2xy-2y}$

${\displaystyle =2x^2+2\left(y-1\right)x+3y^2-2y+1}$

${\displaystyle =2{\left(x+\frac{y-1}{2}\right)}^2}$${\displaystyle -\frac{{\left(y-1\right)}^2}{2}+3y^2-2y+1}$

${\displaystyle =2{\left(x+\frac{y-1}{2}\right)}^2+\frac{5}{2}{y}^2-y+\frac{1}{2}}$

${\displaystyle =2{\left(x+\frac{y-1}{2}\right)}^2+\frac{5}{2}{\left(y-\frac{1}{5}\right)}^2+\frac{2}{5}}$　･･････(2)

が得られる．最小値は

${\displaystyle x+\frac{y-1}{2}=0,y-\frac{1}{5}=0}$  のとき，${\displaystyle \frac{2}{5}}$  

となる．すなわち，最小値は

${\displaystyle x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{5},z=\frac{2}{5}}$  のとき，${\displaystyle \frac{2}{5}}$  

となる．

　

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最終更新日： 2024年9月13日

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