2次関数のグラフの拡大，平行移動に関する問題

■問題

2次関数 $y = x^{2}$ $y = x^{2}$ のグラフを原点を中心に $x$ $x$ 軸方向に2倍， $y$ $y$ 軸方向に－3倍した（拡大した）後，
$x$ $x$ 軸方向に－3， $y$ $y$ 軸方向に－2平行移動したグラフを表す関数を求めよ．

$y = - \frac{3}{4} {(x + 3)}^{2} - 2$ $y = - \frac{3}{4} {(x + 3)}^{2} - 2$

関数 $y = f (x)$ $y = f (x)$ のグラフを原点を中心として

$x$ $x$ 軸方向に $c$ $c$ 倍，

$y$ $y$ 軸方向に $d$ $d$ 倍した後，

$x$ $x$ 軸方向に $a$ $a$ ，

$y$ $y$ 軸方向に $b$ $b$ 平行移動（移動距離は軸の正の方向を正とする）

したグラフを表す関数は

$\frac{y - b}{d} = f (\frac{x - a}{c})$ $\frac{y - b}{d} = f (\frac{x - a}{c})$ 　･･････(1)

となる．(グラフの拡大→平行移動を参照)．今回は

$c = 2$ $c = 2$ ， $d = - 3$ $d = - 3$ ， $a = - 3$ $a = - 3$ ， $d = - 2$ $d = - 2$

に対応する．よって $y = x^{2}$ $y = x^{2}$ を

$x \to \frac{x - (- 3)}{2}$ $x \to \frac{x - (- 3)}{2}$ ， $y \to \frac{y - (- 2)}{- 3}$ $y \to \frac{y - (- 2)}{- 3}$

に書き換えて

$\frac{y - (- 2)}{- 3} = {\{\frac{x - (- 3)}{2}\}}^{2}$ $\frac{y - (- 2)}{- 3} = {\{\frac{x - (- 3)}{2}\}}^{2}$

$\frac{y + 2}{- 3} = \frac{{(x + 3)}^{2}}{4}$ $\frac{y + 2}{- 3} = \frac{{(x + 3)}^{2}}{4}$

$y = - \frac{3}{4} {(x + 3)}^{2} - 2$ $y = - \frac{3}{4} {(x + 3)}^{2} - 2$

となる．これが求める関数である．

最終更新日： 2024年9月13日