2次関数のグラフの拡大，平行移動に関する問題

■問題

2次関数 $y = 2 x^{2} - 8 x + 11$ のグラフは， $y = x^{2}$ のグラフをどのように拡大した後，平行移動したかを答えよ．

$y = 2 x^{2} - 8 x + 11$ のグラフは

$y = x^{2}$ のグラフを原点を中心として， $y$ 軸方向に2倍した（拡大した）後， $x$ 軸方向に2， $y$ 軸方向に3平行移動したもの

である．

あるいは

$y = 2 x^{2} - 8 x + 11$ のグラフは， $y = x^{2}$ のグラフを原点を中心として， $x$ 軸方向に $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍した（拡大した）後， $x$ 軸方向に2， $y$ 軸方向に3平行移動したもの

である．

関数 $y = f (x)$ のグラフを原点を中心として， $x$ 軸方向に $c$ 倍， $y$ 軸方向に $d$ 倍した後， $x$ 軸方向に $a$ ， $y$ 軸方向に $b$ 平行移動（移動距離は軸の正の方向を正とする）した

$\frac{y - b}{d} = f (\frac{x - a}{c})$ 　

となる．よって， $f (x) = x^{2}$ ，すなわち， $y = x^{2}$ に適用すると

$\frac{y - b}{d} = {(\frac{x - a}{c})}^{2}$ ･･･････(1)

の形に， $y = 2 x^{2} - 8 x + 11$ の式を変形するとよい．

方針に従って $y = 2 x^{2} - 8 x + 11$ の式を以下のように変形する．

まず，平方完成する．

$x^{2}$ の係数2で $x^{2}$ の項と $x$ の項をくくる．

$y = 2 (x^{2} - 4 x) + 11$ 　　　

$y = 2 (x^{2} - 4 x + 4) - 2 \times 4 + 11$

$a = x$ の係数，とおく

（）の部分が ${(x + \frac{a}{2})}^{2}$ になるように、（）の中に ${(x + \frac{a}{2})}^{2}$ を加え，（）の外で $2 \times {(x + \frac{a}{2})}^{2}$ を引き、差し引き0にする。

$y = 2 {(x - 2)}^{2} + 3$

次に，(1)の形になるように，式を変形していく．

$y - 3 = 2 {(x - 2)}^{2}$

$\frac{y - 3}{2} = {(\frac{x - 2}{1})}^{2}$ ･･････(2)

となる．(2)は次のようにも変形できる．

$\frac{y - 3}{1} = {(\frac{x - 2}{\frac{1}{\sqrt{2}}})}^{2}$ ･･････(3)

(2)より， $y = 2 x^{2} - 8 x + 11$ のグラフは

$y = x^{2}$ のグラフを原点を中心として
$y$ 軸方向に2倍した（拡大した）後， $x$ 軸方向に2， $y$ 軸方向に3平行移動したもの

である．

(3)より， $y = 2 x^{2} - 8 x + 11$ のグラフは

$y = x^{2}$ のグラフを原点を中心として
$x$ 軸方向に $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍した（拡大した）後， $x$ 軸方向に2， $y$ 軸方向に3平行移動したもの

である．

最終更新日： 2024年9月13日