関数のグラフの拡大，平行移動に関する問題

■問題

$y = \sqrt{2 x + 4} - 3$ のグラフは， $y = \sqrt{x}$ のグラフをどのように拡大した後，平行移動したかを答えよ．

$y = \sqrt{2 x + 4} - 3$ のグラフは

$y = \sqrt{x}$ のグラフを原点を中心として
$y$ 軸方向に $\sqrt{2}$ 倍した（拡大した）後， $x$ 軸方向に－2， $y$ 軸方向に－3平行移動したもの

である．

あるいは

$y = \sqrt{2 x + 4} - 3$ のグラフは

$y = \sqrt{x}$ のグラフを原点を中心として
$x$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ 倍した（拡大した）後， $x$ 軸方向に－2， $y$ 軸方向に－3平行移動したもの

である．

関数 $y = f (x)$ のグラフを原点を中心として $x$ 軸方向に $c$ 倍， $y$ 軸方向に $d$ 倍した後， $x$ 軸方向に $a$ ， $y$ 軸方向に $b$ 平行移動（移動距離は軸の正の方向を正とする）したグラフを表す関数は

$\frac{y - b}{d} = f (\frac{x - a}{c})$ 　

となる．よって， $f (x) = \sqrt{x}$ ，すなわち， $y = \sqrt{x}$ に適用すると

$\frac{y - b}{d} = \sqrt{\frac{x - a}{c}}$ ･･･････(1)

の形に， $y = \sqrt{2 x + 4} - 3$ の式を変形するとよい．

方針に従って $y = \sqrt{2 x + 4} - 3$ の式を以下のように変形する．

$\begin{array}{l} y = \sqrt{2 x + 4} - 3 \\ y + 3 = \sqrt{2 (x + 2)} \end{array}$

$\frac{y - (- 3)}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{x - (- 2)}{1}}$ ･･････(2)

となる．(2)は次のようにも変形できる．

$\frac{y - (- 3)}{1} = \sqrt{\frac{x - (- 2)}{\frac{1}{2}}}$ ･･････(3)

(2)より， $y = \sqrt{2 x + 4} - 3$ のグラフは

$y = \sqrt{x}$ のグラフを原点を中心として， $y$ 軸方向に $\sqrt{2}$ 倍した（拡大した）後， $x$ 軸方向に－2， $y$ 軸方向に－3平行移動したもの

である．

(3)より， $y = \sqrt{2 x + 4} - 3$ のグラフは

$y = \sqrt{x}$ のグラフを原点を中心として， $x$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ 倍した（拡大した）後， $x$ 軸方向に－2， $y$ 軸方向に－3平行移動したもの

である．

最終更新日： 2024年9月13日