絶対値の記号を含む不等式の問題

■問題

次の不等式の解を求めよ．

$|- x + 5| > 3$ ･･････(1)

■答

$x < 2$ ， $x > 8$

■ヒント

$- x + 5 ≧ 0$ の場合と $- x + 5 < 0$ に分けて考える．

■答

絶対値の性質1を用いて場合分けをする．

● $- x + 5 \geq 0$ ，すなわち， $x ≦ 5$ の場合

$|- x + 5| = - x + 5$

より，(1)は

$- x + 5 > 3$ ･･････(2)

となる．(2)を解くと

$- x > - 2$

$x < 2$ ･･････(3)

となる．(2)の詳しい解き方は，この問題を参考にする．

(3)は $x ≦ 5$ を満たしてる．よって(1)の解になる．

● $- x + 5 < 0$ ，すなわち， $x > 5$ の場合

$|- x + 5| = - (- x + 5)$

より，(1)は

$- (- x + 5) > 3$ ･･････(4)

となる．(4)を解く．

$x - 5 > 3$

$x > 8$ ･･････(5)

となる．(5)は $x > 5$ を満たしている．よって(5)は(1)の解になる．

以上より

(1)の解は

$x < 2$ ， $x > 8$

となる．

●グラフによる理解

$y = |- x + 5|$ ･･････(6)

$y = 3$ ･･････(7)

とおく．．

以下に，(6)と(7)のグラフを示す．(1)の解は，(6)のグラフの(7)のグラフより上の部分の $x$ の範囲である．

(6)のグラフのかき方はこのページを参考にしてください．

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最終更新日： 2025年2月9日