絶対値の記号を含む不等式の問題

■問題

次の不等式の解を求めよ．

$|2 x + 5| < x + 7$ ･･････(1)

■答

$- 4 < x < 2$

■ヒント

$2 x + 5 ≧ 0$ の場合と $2 x + 5 < 0$ に分けて考える．

■答

絶対値の性質1を用いて場合分けをする．

● $2 x + 5 ≧ 0$ ，すなわち， $x ≧ - \frac{5}{2}$ の場合

$|2 x + 5| = 2 x + 5$

より，(1)は

$2 x + 5 < x + 7$ ･･････(2)

となる．(2)を解くと

$x < 2$ ･･････(3)

となる．(2)の詳しい解き方は，この問題を参考にする．

(3)と $x ≧ - \frac{5}{2}$ の両方を満たす範囲は

$- \frac{5}{2} ≦ x < 2$ ･･････(4)

となる．

● $2 x + 5 < 0$ ，すなわち， $x < - \frac{5}{2}$ の場合

$|2 x + 5| = - (2 x + 5)$

より，(1)は

$- (2 x + 5) < x + 7$ ･･････(5)

となる．(4)を解く．

$- 2 x - 5 < x + 7$

$- 3 x < 12$

$x > 4$ ･･････(6)

となる．(6)と $x < - \frac{5}{2}$ の両方を満たす範囲は

$- 4 < x < - \frac{5}{2}$ ･･････(7)

となる．

以上より

(1)の解は(4)と(7)を合わせた

$- 4 < x < 2$

となる．

●グラフによる理解

$y = |2 x + 5|$ ･･････(8)

$y = x + 7$ ･･････(9)

とおく．

以下に，(8)と(9)のグラフを示す．(1)の解は，(8)のグラフの(9)のグラフより下の部分の $x$ の範囲である

(8)のグラフのかき方はこのページを，(9)のページのグラフの書き方はこの問題を参考にしてください．

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最終更新日： 2025年2月9日

絶対値の記号を含む不等式の問題

■問題

■答

■ヒント

■答

● 2x+5≧0 ，すなわち， x≧−52 の場合

● 2x+5<0 ，すなわち， x<−52 の場合

以上より

●グラフによる理解

● $2 x + 5 ≧ 0$ ，すなわち， $x ≧ - \frac{5}{2}$ の場合

● $2 x + 5 < 0$ ，すなわち， $x < - \frac{5}{2}$ の場合