問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

絶対値の記号を含む不等式の問題

■問題

次の不等式の解を求めよ．

$\left|2x+5\right|<x+7$ 　･･････(1)

■答

$-4<x<2$

■ヒント

${\displaystyle 2x+5\geqq 0}$ の場合と ${\displaystyle 2x+5<0}$ に分けて考える．

■答

絶対値の性質1を用いて場合分けをする．

●${\displaystyle 2x+5\geqq 0}$ ，すなわち， ${\displaystyle x\geqq -\frac{5}{2}}$ の場合

${\displaystyle \left|2x+5\right|=2x+5}$

より，(1)は

${\displaystyle 2x+5<x+7}$ 　･･････(2)

となる．(2)を解くと

${\displaystyle x<2}$ 　･･････(3)

となる．(2)の詳しい解き方は，この問題を参考にする．

(3)と ${\displaystyle x\geqq -\frac{5}{2}}$の両方 を満たす範囲は

${\displaystyle -\frac{5}{2}\leqq x<2}$　･･････(4)

となる．

●${\displaystyle 2x+5<0}$ ，すなわち，${\displaystyle x<-\frac{5}{2}}$ の場合

${\displaystyle \left|2x+5\right|=-\left(2x+5\right)}$

より，(1)は

${\displaystyle -\left(2x+5\right)<x+7}$ 　･･････(5)

となる．(4)を解く．

${\displaystyle -2x-5<x+7}$

${\displaystyle -3x<12}$

$x>4$ 　･･････(6)

となる．(6)と ${\displaystyle x<-\frac{5}{2}}$ の両方を満たす範囲は

${\displaystyle -4<x<-\frac{5}{2}}$　･･････(7)

となる．

以上より

(1)の解は(4)と(7)を合わせた

$-4<x<2$

となる．

●グラフによる理解

$y=\left|2x+5\right|$ ･･････(8)

$y=x+7$ ･･････(9)

とおく．

以下に，(8)と(9)のグラフを示す．(1)の解は，(8)のグラフの(9)のグラフより下の部分の $x$ の範囲である

(8)のグラフのかき方はこのページを，(9)のページのグラフの書き方はこの問題を参考にしてください．

 

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最終更新日： 2024年10月10日

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