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1次関数の最大値・最小値問題

■問題

実数$x$，$y$が 次の連立不等式を満たすとする．

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x\geqq 0\\ y\geqq 0\\ y\leqq -\frac{1}{2}x+4\\ y\leqq -3x+9\end{array}\right.}$

このとき，${\displaystyle 2x+y}$ の最大値と，そのときの$x$，$y$の値を求めよ．

■答

${\displaystyle x=2}$ ，${\displaystyle y=3}$ のとき，最大値${\displaystyle 7}$

■ヒント

${\displaystyle 2x+y=k}$  ($k$は実数) とおき，連立不等式を満たす領域内に点$\left(x,y\right)$が存在するように，直線 ${\displaystyle 2x+y=k}$を平行移動させることを考える．

■解説

ヒントより，${\displaystyle 2x+y=k}$  ($k$は実数) とおくと

${\displaystyle y=-2x+k}$   ･･････(1)

となり，$k$は(1)の直線の$y$切片になる．

(1)の直線と，不等式を満たす領域を図に示す．

不等式を満たす領域は境界線を含む緑色の部分である．直線${\displaystyle y=-2x+k}$を ${\displaystyle y}$ 軸の正の方向に平行移動させると，${\displaystyle k}$ の値は大きくなる．したがって，${\displaystyle k}$が最大となるのは，この直線が，直線${\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+4}$ と直線${\displaystyle y=-3x+9}$ の交点を通るときである．

2直線の交点の座標は，次の連立方程式を解くことによって求められる．

(2)-(3)より

${\displaystyle 0=\frac{5}{2}x-5}$ ， ${\displaystyle x=2}$   ･･････(4)

(4)を(2)に代入すると

${\displaystyle y=-\frac{1}{2}\cdot 2+4=3}$   ･･････(5)

よって，2直線の交点の座標は${\displaystyle \left(2,3\right)}$ である．

したがって， ${\displaystyle x=2}$ ，${\displaystyle y=3}$ のとき，${\displaystyle 2\cdot 2+3=7}$となるので，求める最大値は${\displaystyle 7}$である．

　

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最終更新日 2026年10月24日

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