問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

2次関数のグラフの拡大に関する問題

■問題

2次関数${\displaystyle y=x^2}$ のグラフを原点を中心に$x$ 軸方向に $2$ 倍， $y$ 軸方向に $2$ 倍したグラフを表す関数を求めよ．

■答

${\displaystyle y=2x^2}$  

■解説

関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフを原点を中心として $x$ 軸方向に $c$ 倍 ， $y$ 軸方向に $d$ 倍 したグラフを表す関数は

${\displaystyle \frac{y}{d}=f\left(\frac{x}{c}\right)}$　･･････(1)

となる(グラフの拡大を参照)．今回は${\displaystyle c=2}$  ，${\displaystyle d=2}$ に対応する．よって${\displaystyle y=x^2}$ を

${\displaystyle x\to \frac{x}{2}}$ ，${\displaystyle y\to \frac{y}{2}}$　･･････(2)

に書き換えて

${\displaystyle \frac{y}{2}={\left(\frac{x}{2}\right)}^2}$

${\displaystyle y=\frac{x^2}{2}}$　･･････(3)

となる．これが求める関数である．

●基本に立ち返って解く方法

${\displaystyle y=x^2}$ 上の点 $\text{P}$ を原点を中心に$x$ 軸方向に $2$ 倍， $y$ 軸方向に $2$ 倍したものを点 $\text{Q}$ とし，点 $\text{P}$ ， $\text{Q}$ の座標をそれぞれ ${\displaystyle \left(r,s\right)}$ ， $\left(x,y\right)$ とすると

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=2r\\ y=2s\end{array}\right.}$ 　 $\to$ 　 ${\displaystyle \left(x,y\right)=\left(2r,2s\right)}$ 　･･････(4)

の関係がある．これは点 $\text{Q}$ を点 $\text{P}$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $\text{P}$の座標を，点 $\text{Q}$ の座標の値 $x$ ，$y$ を使って表すと

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}r={\displaystyle \frac{x}{2}}\\ s={\displaystyle \frac{y}{2}}\end{array}\right.}$ $\to$ ${\displaystyle \left(r,a\right)=\left(\frac{x}{2},\frac{y}{2}\right)}$ 　･･････(5)

となる．(5)は上記の(2)に対応する．

点 $\text{P}$ は ${\displaystyle y=x^2}$ 上の点であるので

${\displaystyle s=r^2}$ 　　･･････(6)

の関係がある．この(6)の $r$ と $s$ に(5)の関係を代入すると

${\displaystyle \frac{y}{2}={\left(\frac{x}{2}\right)}^2}$

${\displaystyle y=\frac{x^2}{2}}$ 　･･････(7)

が得られる.(7)は $x$ と $y$ の関係を表している．すなわち，この(7)が ${\displaystyle y=x^2}$ のグラフを原点を中心に $x$ 軸方向に $2$ 倍， $y$ 軸方向に $2$ 倍したグラフを表す関数である．

 

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最終更新日：2024年9月13日

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