問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

双曲線の問題

■問題

双曲線

$x^2-y^2=1$

の中心，頂点，漸近線，焦点，離心率を求め，その双曲線を描け．

■答

中心：${\displaystyle \left(0,0\right)}$

頂点：${\displaystyle \left(1,0\right)}$， ${\displaystyle \left(-1,0\right)}$

漸近線：${\displaystyle y=x}$ ，${\displaystyle y=-x}$

焦点：${\displaystyle \text{F}}$ ${\displaystyle \left(\sqrt{2},0\right)}$，${\displaystyle {\text{F}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(-\sqrt{2},0\right)}$

離心率；${\displaystyle e=\sqrt{2}}$

■解き方

最初に

${\displaystyle \frac{{\left(x-0\right)}^2}{1^2}-\frac{{\left(y-0\right)}^2}{1^2}=1}$

と変形する． 以下の解答はこれを利用する．

中心は${\displaystyle \left(0,0\right)}$

頂点は

${\displaystyle (\pm 1,0)=\left(1,0\right)}$， ${\displaystyle \left(-1,0\right)}$

漸近線を${\displaystyle y=ax+b}$ とすると

${\displaystyle x^2-y^2=1}$ ，${\displaystyle y^2=x^2-1}$ ，${\displaystyle y=\pm \sqrt{x^2-1}}$ ，${\displaystyle f\left(x\right)=\pm \sqrt{x^2-1}}$

${\displaystyle a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\pm \sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}}$${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\pm \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$${\displaystyle =\pm 1}$

${\displaystyle b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left\{f\left(x\right)-ax\right\}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left\{\pm \sqrt{x^2-1}-\left(\pm 1\right)x\right\}}$${\displaystyle =\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\pm \left(\sqrt{x^2-1}-x\right)}$${\displaystyle =\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\pm \frac{\left(\sqrt{x^2-1}-x\right)\left(\sqrt{x^2-1}+x\right)}{\left(\sqrt{x^2-1}+x\right)}}$${\displaystyle \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\pm \frac{\left(x^2-1\right)-x^2}{\left(\sqrt{x^2-1}+x\right)}}$${\displaystyle =\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\pm \frac{-1}{\left(\sqrt{x^2-1}+x\right)}}$${\displaystyle =0}$

よって，漸近線は

${\displaystyle y=\pm x}$

${\displaystyle $ {\displaystyle y=x}$}$，${\displaystyle y=-x}$

焦点${\displaystyle \text{F}}$の計算は

${\displaystyle \text{F}}$${\displaystyle \left(\sqrt{1^2+1^2},0\right)}$ ，${\displaystyle {\text{F}}^{\prime }}$${\displaystyle \left(-\sqrt{1^2+1^2},0\right)}$

よって

${\displaystyle \text{F}}$${\displaystyle \left(\sqrt{2},0\right)}$，${\displaystyle {\text{F}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(-\sqrt{2},0\right)}$

となる．

離心率${\displaystyle e}$は

${\displaystyle e=\frac{\sqrt{1^2+1^2}}{1}}$

${\displaystyle =\sqrt{2}}$　　 ${\displaystyle \left(=\frac{\text{OF}}{\text{OA}}>1\right)}$

となる．グラフは，上記の解答に記す．

 

ホーム>>カテゴリー分類>>関数>>関数のグラフに関する問題>>双曲線の問題

最終更新日： 2023年7月18日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)