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極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\left\{x\log \left(x+1\right)-x\log x\right\}}$

■答

${\displaystyle 1}$

■ヒント

${\displaystyle x\to \infty }$ のとき， ${\displaystyle x\log \left(x+1\right)\to \infty }$ ， ${\displaystyle x\log x\to \infty }$ となり， ${\displaystyle \infty -\infty }$ の不定形となる．

対数関数の極限では， ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\log \left(1+x\right)}{x}=1}$ を利用できるように式変形すると極限が求まる場合が多い．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\left\{x\log \left(x+1\right)-x\log x\right\}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }x\log \left(\frac{x+1}{x}\right)}$

${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }x\log \left(1+\frac{1}{x}\right)}$

■解き方

${\displaystyle x\to \infty }$ のとき， ${\displaystyle x\log \left(x+1\right)\to \infty }$ ， ${\displaystyle x\log x\to \infty }$ となり， ${\displaystyle \infty -\infty }$ の不定形となる．

対数の性質より与式を変形すると

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\left\{x\log \left(x+1\right)-x\log x\right\}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }x\log \left(\frac{x+1}{x}\right)}$

${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }x\log \left(1+\frac{1}{x}\right)}$  ･･････(1)

${\displaystyle y=\frac{1}{x}}$ とおくと， ${\displaystyle x\to \infty }$ のとき ${\displaystyle y\to 0}$ より上記の式は

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }x\log \left(1+\frac{1}{x}\right)}$ ${\displaystyle =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\log \left(1+y\right)}{y}}$  ･･････(2)

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\log \left(1+x\right)}{x}=1}$ より極限値は

${\displaystyle \underset{y\to 0}{\lim }\frac{\log \left(1+y\right)}{y}=1}$  ･･････(3)

となる．

よって求める極限値は

${\displaystyle 1}$

となる．

●別解

(1)より

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\left\{x\log \left(x+1\right)-x\log x\right\}}$${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }x\log \left(1+\frac{1}{x}\right)}$

${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\log {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x}$  （∵ ${log}_a{R}^t=t{log}_{a}R$ ）

${\displaystyle =\log \left(\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\right)}$  （∵ ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)\right)}$ ）

${\displaystyle =\log e}$   （∵ ${\displaystyle e=\underset{s\to \infty }{lim}{\left(1+\frac{1}{s}\right)}^s}$ ）

${\displaystyle =1}$

 

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最終更新日： 2026年6月10日

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