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極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2^x+\cos x}{2^x}}$

■答

${\displaystyle 1}$

■ヒント

与式を次のように変形すると

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2^x+\cos x}{2^x}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{\cos x}{2^x}\right)}$

あとははさみうちの原理を用いれば良い．

■解き方

与式を次のように変形すると

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2^x+\cos x}{2^x}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{\cos x}{2^x}\right)}$

実数${\displaystyle x}$ において${\displaystyle \cos x}$ の値域は

${\displaystyle -1\leqq \cos x\leqq 1}$

${\displaystyle 2^x>0}$ より不等式の各辺を${\displaystyle 2^x}$ で割ると

${\displaystyle -\frac{1}{2^x}\leqq \frac{\cos x}{2^x}\leqq \frac{1}{2^x}}$

右側の極限値は

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{2^x}=0}$

左側の極限値は

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\left(-\frac{1}{2^x}\right)=0}$

はさみうちの原理より

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\cos x}{2^x}=0}$

となる．

よって求める極限値は

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{\cos x}{2^x}\right)}$ ${\displaystyle =1+0}$ ${\displaystyle =1}$

したがって求める極限値は

${\displaystyle 1}$

となる．

 

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最終2026年6月10日

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