ラプラス変換に関する問題

ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて,一般解を求めなさい.

y''+3y'+2y=0   (初期条件: y 0 = 1 y 0 =0 )

■答

y=2 e t e 2t

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く.

■解き方

ラプラス変換すると

y L Y s

y L sY s y 0

y L s 2 Y s sy 0 y 0

となり,これを式に代入

s 2 Y s sy 0 y 0 +3( sY s y ( 0 ) ) +2Y s =0

初期条件より

s 2 Y s s+3( sY s 1 ) +2Y s =0

( s 2 +3s+2 )Y s =s+3


Y s

= s+3 s 2 +3s+2

= s+3 ( s+2 )( s+1 )

ここで,部分分数分解をする.

Y s = k 1 s+2 + k 2 s+1

k 1 = lim s2 ( s+2 ) s+3 ( s+2 )( s+1 ) =1

k 2 = lim s1 ( s+1 ) s+3 ( s+2 )( s+1 ) =2

よって

Y s = 1 s+2 + 2 s+1

逆ラプラス変換をする ラプラス変換表はこちら

y=2 e t e 2t

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く.

特性方程式

λ 2 +3λ+2=0

より

λ=1,2

よって一般解は

y= C 1 e t + C 2 e 2t

y = C 1 e t 2 C 2 e 2t

初期条件より

y= C 1 + C 2 =1  ・・・・・・(1)

y = C 1 2 C 2 =0  ・・・・・・(2)

(1),(2)より

C 1 =2, C 2 =1

よって

y=2 e t e 2t

 

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最終更新日: 2023年6月6日