ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y\text{'}\text{'}+3y\text{'}+2y=0}$　　(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=1}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=0}$ )

■答

${\displaystyle y=2e^{-t}-e^{-2t}}$

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く．

■解き方

ラプラス変換すると

${\displaystyle y\stackrel{\mathcal{L}}{\to }Y\left(s\right)}$

${\displaystyle y^{\prime }\stackrel{\mathcal{L}}{\to }sY\left(s\right)-y\left(0\right)}$

${\displaystyle y^{″}\stackrel{\mathcal{L}}{\to }{s}^{2}Y\left(s\right)-s\cdot y\left(0\right)-y^{\prime }\left(0\right)}$

となり，これを式に代入

${\displaystyle s^{2}Y\left(s\right)-s\cdot y\left(0\right)-y^{\prime }\left(0\right)}$${\displaystyle +3\left(sY\left(s\right)-y_{\left(0\right)}\right)}$${\displaystyle +2Y\left(s\right)=0}$

初期条件より

${\displaystyle s^{2}Y\left(s\right)-s+3\left(sY\left(s\right)-1\right)}$${\displaystyle +2Y\left(s\right)=0}$

${\displaystyle \left(s^2+3s+2\right)Y\left(s\right)=s+3}$

${\displaystyle Y\left(s\right)}$	${\displaystyle =\frac{s+3}{s^2+3s+2}}$
	${\displaystyle =\frac{s+3}{\left(s+2\right)\left(s+1\right)}}$

ここで，部分分数分解をする．

${\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{k_1}{s+2}+\frac{k_2}{s+1}}$

${\displaystyle k_1=\underset{s\to -2}{\lim }\left(s+2\right)\frac{s+3}{\left(s+2\right)\left(s+1\right)}=-1}$

${\displaystyle k_2=\underset{s\to -1}{\lim }\left(s+1\right)\frac{s+3}{\left(s+2\right)\left(s+1\right)}=2}$

よって

${\displaystyle Y\left(s\right)=-\frac{1}{s+2}+\frac{2}{s+1}}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

${\displaystyle y=2e^{-t}-e^{-2t}}$

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く．

特性方程式

${\displaystyle {\lambda }^2+3\lambda +2=0}$

より

${\displaystyle \lambda =-1,-2}$

よって一般解は

${\displaystyle y=C_1{e}^{-t}+C_2{e}^{-2t}}$

${\displaystyle y^{\prime }=-C_1{e}^{-t}-2C_2{e}^{-2t}}$

初期条件より

${\displaystyle y=C_1+C_2=1}$　･･････(1)

${\displaystyle y^{\prime }=-C_1-2C_2=0}$　･･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle C_1=2,C_2=-1}$

よって

${\displaystyle y=2e^{-t}-e^{-2t}}$

　

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最終更新日： 2023年6月6日