ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

$y^{″} - 10 y^{'} + 25 y = 0$

(初期条件： $y (0) = \frac{1}{2}$ ， $y^{'} (0) = 3$ )

$y = \frac{1}{2} e^{5 t} (t + 1)$

ラプラス変換の微分則を用いて解く

ラプラス変換すると

$y \overset{L}{\to} Y (s)$

$y^{'} \overset{L}{\to} s Y (s) - y (0)$

$y^{″} \overset{L}{\to} s^{2} Y (s) - s \cdot y (0) - y^{'} (0)$

となり，これらを式に代入

$s^{2} Y (s) - s y (0) - y^{'} (0) - 10 (s Y (s) - y (0))$ $+ 25 Y (s)$ $= 0$

初期条件より

$s^{2} Y (s) - \frac{1}{2} s - 3 - 10 s Y (s) + 5 + 25 Y (s) = 0$

$(s^{2} - 10 s + 25) Y (s) - \frac{1}{2} s + 2 = 0$

$Y (s) = \frac{\frac{1}{2} s - 2}{{(s - 5)}^{2}}$ 　　　　　……(1)

ここで，部分分数分解をする．

$Y (s) = \frac{k_{1}}{s - 5} + \frac{k_{2}}{{(s - 5)}^{2}}$

$Y (s) = \frac{k_{1} (s - 5) + k_{2}}{{(s - 5)}^{2}}$ 　　……(2)

(1)と(2)の分子を係数比較すると

${\begin{array}{l} k_{1} = \frac{1}{2} \\ - 5 k_{1} + k_{2} = - 2 \end{array}$

$k_{1} = \frac{1}{2}, k_{2} = \frac{1}{2}$

よって

$Y (s) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s - 5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{(s - 5)}^{2}}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

$y = \frac{1}{2} e^{5 t} (t + 1)$

$λ^{2} - 10 λ + 25 = 0$

より

${(λ - 5)}^{2} = 0$

$λ = 5$

よって一般解は

$y = e^{5 t} (C_{1} t + C_{2})$ 　　(ただし $C_{1}$ , $C_{2}$ は任意定数)

$y^{'} = 5 e^{5 t} (C_{1} t + C_{2}) + C_{1} e^{5 t}$

初期条件より

$y (0) = C_{2}$ 　･･････(1)

$y^{'} (0) = 5 C_{2} + C_{1}$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$C_{1} = \frac{1}{2}, C_{2} = \frac{1}{2}$

よって

$y = \frac{1}{2} e^{5 t} (t + 1)$

最終更新日： 2023年6月6日