ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-5y^{\prime }+6y=0}$ 　　　(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=1}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=0}$)

■答

${\displaystyle y=3e^{2t}-2e^{3t}}$

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く

■解き方

ラプラス変換すると

${\displaystyle y\stackrel{\mathcal{L}}{\to }Y\left(s\right)}$

${\displaystyle y^{\prime }\stackrel{\mathcal{L}}{\to }sY\left(s\right)-y\left(0\right)}$

${\displaystyle y^{″}\stackrel{\mathcal{L}}{\to }{s}^{2}Y\left(s\right)-s\cdot y\left(0\right)-y^{\prime }\left(0\right)}$

となり，これらを式に代入

${\displaystyle s^{2}Y\left(s\right)-sy\left(0\right)-y^{\prime }\left(0\right)-5\left(sY\left(s\right)-y\left(0\right)\right)}$${\displaystyle +6Y\left(s\right)}$${\displaystyle =0}$

初期条件より

${\displaystyle s^{2}Y\left(s\right)-s-5\left(sY\left(s\right)-1\right)+6Y\left(s\right)=0}$

${\displaystyle \left(s^2-5s+6\right)Y\left(s\right)=s-5}$

${\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{s-5}{\left(s-2\right)\left(s-3\right)}}$

ここで，部分分数分解をする．

${\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{k_1}{s-2}+\frac{k_2}{s-3}}$

${\displaystyle k_1=\underset{s\to 2}{\lim }\left(s-2\right)\frac{s-5}{\left(s-2\right)\left(s-3\right)}=3}$

${\displaystyle k_2=\underset{s\to 3}{\lim }\left(s-3\right)\frac{s-5}{\left(s-2\right)\left(s-3\right)}=-2}$

よって

${\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{3}{s-2}-\frac{2}{s-3}}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

${\displaystyle y=3e^{2t}-2e^{3t}}$

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く．

特性方程式

${\displaystyle {\lambda }^2-5\lambda +6=0}$

より

${\displaystyle \left(\lambda -2\right)\left(\lambda -3\right)=0}$

${\displaystyle \lambda =2,3}$

よって一般解は

${\displaystyle y=C_1{e}^{2t}+C_2{e}^{3t}}$ 　　(ただし${\displaystyle C_1,C_2}$ は任意定数)

${\displaystyle y^{\prime }=2C_1{e}^{2t}+3C_2{e}^{3t}}$

初期条件より

${\displaystyle y_{\left(0\right)}=C_1+C_2=1}$　･･････(1)

${\displaystyle {y^{\prime }}_{\left(0\right)}=2C_1+3C_2=0}$　･･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle C_1=3,C_2=-2}$

よって

${\displaystyle y=3e^{2t}-2e^{3t}}$

　

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最終更新日： 2026年10月6日