ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-5y^{\prime }+4y=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=0}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=-1}$)

■答

${\displaystyle y=\frac{1}{3}{e}^t-\frac{1}{3}{e}^{4t}}$

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く

■解き方

ラプラス変換すると

${\displaystyle y\stackrel{\mathcal{L}}{\to }Y\left(s\right)}$

${\displaystyle y^{\prime }\stackrel{\mathcal{L}}{\to }sY\left(s\right)-y\left(0\right)}$

${\displaystyle y^{″}\stackrel{\mathcal{L}}{\to }{s}^{2}Y\left(s\right)-s\cdot y\left(0\right)-y^{\prime }\left(0\right)}$

となり，これらを式に代入

${\displaystyle s^{2}Y\left(s\right)-sy\left(0\right)-y^{\prime }\left(0\right)}$${\displaystyle -5\left(sY\left(s\right)-y\left(0\right)\right)}$${\displaystyle +4Y\left(s\right)}$${\displaystyle =0}$

初期条件より

${\displaystyle s^{2}Y\left(s\right)+1-5sY\left(s\right)+4Y\left(s\right)=0}$

${\displaystyle \left(s^2-5s+4\right)Y\left(s\right)+1=0}$

${\displaystyle Y\left(s\right)=-\frac{1}{\left(s-1\right)\left(s-4\right)}}$

ここで，部分分数分解をする．

${\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{k_1}{\left(s-1\right)}+\frac{k_2}{\left(s-4\right)}}$

${\displaystyle k_1=\underset{s\to 1}{\lim }\left(s-1\right)\left\{-\frac{1}{\left(s-1\right)\left(s-4\right)}\right\}}$${\displaystyle =\frac{1}{3}}$

${\displaystyle k_2=\underset{s\to 4}{\lim }\left(s-4\right)\left\{-\frac{1}{\left(s-1\right)\left(s-4\right)}\right\}}$${\displaystyle =-\frac{1}{3}}$

よって

${\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\left(s-1\right)}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\left(s-4\right)}}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

${\displaystyle y=\frac{1}{3}{e}^t-\frac{1}{3}{e}^{4t}}$

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く．

特性方程式

${\displaystyle {\lambda }^2-5\lambda +4=0}$

より

${\displaystyle \left(\lambda -1\right)\left(\lambda -4\right)=0}$

${\displaystyle \lambda =1,4}$

よって一般解は

${\displaystyle y=C_1{e}^t+C_2{e}^{4t}}$　(ただし${\displaystyle C_1,C_2}$は任意定数)

${\displaystyle y^{\prime }=C_1{e}^t+4C_2{e}^{4t}}$

初期条件より

${\displaystyle y\left(0\right)=C_1+C_2}$　･･････(1)

${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=C_1+4C_2}$　･･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle C_1=\frac{1}{3},C_2=-\frac{1}{3}}$

よって

${\displaystyle y=\frac{1}{3}{e}^t-\frac{1}{3}{e}^{4t}}$

　

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最終更新日： 2023年6月6日