ラプラス変換に関する問題

ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて,一般解を求めなさい.

y 5 y +4y=0

(初期条件: y 0 =0 y 0 =1 )

■答

y= 1 3 e t 1 3 e 4t

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く

■解き方

ラプラス変換すると

y L Y s

y L sY s y 0

y L s 2 Y s sy 0 y 0

となり,これらを式に代入

s 2 Y s sy 0 y 0 5( sY s y 0 ) +4Y s =0

初期条件より

s 2 Y s +15 sY s +4Y s =0

( s 2 5s+ 4 )Y s +1 =0

Y s = 1 ( s1 )( s4 )

ここで,部分分数分解をする.

Y s = k 1 ( s1 ) + k 2 ( s4 )

k 1 = lim s1 ( s1 ){ 1 ( s1 )( s4 ) } = 1 3

k 2 = lim s4 ( s4 ){ 1 ( s1 )( s4 ) } = 1 3

よって

Y s = 1 3 1 ( s1 ) 1 3 1 ( s4 )

逆ラプラス変換をする ラプラス変換表はこちら

y= 1 3 e t 1 3 e 4t

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く.

特性方程式

λ 2 5λ+4=0

より

( λ1 )( λ4 )=0

λ=1,4

よって一般解は

y= C 1 e t + C 2 e 4t  (ただし C 1 , C 2 は任意定数)

y = C 1 e t +4 C 2 e 4t

初期条件より

y 0 = C 1 + C 2  ・・・・・・(1)

y 0 = C 1 +4 C 2  ・・・・・・(2)

(1),(2)より

C 1 = 1 3 , C 2 = 1 3

よって

y= 1 3 e t 1 3 e 4t

 

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最終更新日: 2023年6月6日