問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

四角錐の重心の計算

■問題

図のような底面の面積が${\displaystyle A}$，高さが${\displaystyle H}$ とする角錐の重心を求めよ．

答

角錐の底面より高さ${\displaystyle \frac{H}{4}}$ の位置

■ヒント

立体の重心を参考にする．

■答

図のように四角錐の頂点から底面に下した線分が$x$ 軸と重なるようにし，四角錐の頂点を原点とする．

$x$ 軸の位置$x$ における${\displaystyle x}$軸に垂直で厚さが微小な${\displaystyle dx}$，面積が${\displaystyle S\left(x\right)}$の薄板の体積${\displaystyle dV}$は

${\displaystyle dV=S\left(x\right)dx}$　･･････(1)

となる．また， 面積比${\displaystyle \begin{array}{ccc}A:S\left(x\right)& =& H^2:x^2\end{array}}$ より

${\displaystyle S\left(x\right)={\displaystyle A\frac{x^2}{H^2}}\begin{array}{ccc}& & \end{array}}$　･･････(2)

となる．よって，(2)を(1)に代入すると

${\displaystyle dV=A\frac{x^2}{H^2}dx}$

となる．重心は ${\displaystyle x}$ 　軸上にあるので，重心の ${\displaystyle x}$ 座標を ${\displaystyle x_G}$ 　とすると

${\displaystyle x_G=\frac{{\displaystyle {\int }_0^{H}x}dV}{{\displaystyle {\int }_0^H}dV}}$${\displaystyle =\frac{{\displaystyle {\int }_0^{H}xA\frac{x^2}{H^2}}dx}{{\displaystyle {\int }_0^{H}A\frac{x^2}{H^2}}dx}}$${\displaystyle =\frac{{\displaystyle \frac{A}{H^2}}{{\displaystyle \int }}_0^H{x}^{3}dx}{{\displaystyle \frac{A}{H^2}}{{\displaystyle \int }}_0^H{x}^{2}dx}}$${\displaystyle =\frac{{\displaystyle {\int }_0^H{x}^3}dx}{{\displaystyle {\int }_0^H{x}^2}dx}}$${\displaystyle =\frac{{\displaystyle {\left[\frac{x^4}{4}\right]}_0^H}}{{{\displaystyle \left[\frac{x^3}{3}\right]}}_0^H}}$${\displaystyle =\frac{{\displaystyle \frac{H^4}{4}}}{{\displaystyle \frac{H^4}{3}}}}$ ${\displaystyle =\frac{3}{4}H}$

となる．よって，重心の位置は，角錐の底面より高さ${\displaystyle \frac{H}{4}}$ の位置にある．

　

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最終更新日： 2023年11月24日

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