問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

平面図形の重心を求める問題

■問題

曲線 ${\displaystyle y=\sqrt{9-x^2}}$ と ${\displaystyle x}$ 軸と ${\displaystyle y}$ 軸に囲まれた図形の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ の位置を求めよ．ただし， ${\displaystyle x\geqq 0}$ と，重心 の ${\displaystyle x}$ 座標を ${\displaystyle x_{\text{G}}}$ ， ${\displaystyle y}$ 座標を ${\displaystyle y_{\text{G}}}$ とする．

■答

図形の重心 G の位置は， ${\displaystyle \left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)=\left(\frac{4}{\pi },\frac{4}{\pi }\right)}$  

■ヒント

平面の重心の計算より

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx}$

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_c^{d}y\text{G}\left(y\right)dy}$

の公式を用いる．

■解説

●図形の面積 $S$ を求める

${\displaystyle S={\displaystyle {\int }_0^3\sqrt{9-x^2}dx}}$

${\displaystyle x=3\sin \theta }$ とおく．

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }=3\cos \theta \to dx=3\cos \theta d\theta }$

${\displaystyle x:0\to 3}$ の時 ${\displaystyle \theta :0\to \frac{\pi }{2}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{9-{\left(3\sin \theta \right)}^2}\cdot 3\cos \theta d\theta }}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{9{\cos }^2\theta }\cdot 3\cos \theta d\theta }}$

${\displaystyle =9{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2\theta d\theta }}$

${\displaystyle =9{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+\cos 2\theta }{2}d\theta }}$

${\displaystyle =9{\left[\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin 2\theta \right]}_0^{\frac{\pi }{2}}}$

${\displaystyle =9\cdot \frac{\pi }{4}}$

${\displaystyle =\frac{9}{4}\pi }$

● ${\displaystyle x_{\text{G}}}$ を求める

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{\frac{9}{4}\pi }{\displaystyle {\int }_0^{3}x\sqrt{9-x^2}dx}}$

${\displaystyle t=9-x^2}$ とお．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-2x\to xdx=-\frac{1}{2}dt}$

${\displaystyle x:0\to 3}$ の時 ${\displaystyle t:9\to 0}$

${\displaystyle =\frac{1}{\frac{9}{4}\pi }{\displaystyle {\int }_9^0\sqrt{t}\left(-\frac{1}{2}dt\right)}}$

${\displaystyle =-\frac{2}{9\pi }{\displaystyle {\int }_9^0{t}^{\frac{1}{2}}dt}}$

${\displaystyle =-\frac{2}{9\pi }{\left[\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}\right]}_9^0}$

${\displaystyle =-\frac{2}{9\pi }\left(0-\frac{2}{3}\cdot 27\right)}$

${\displaystyle =\frac{4}{\pi }}$

● ${\displaystyle y_{\text{G}}}$ を求める

曲線 ${\displaystyle y=\sqrt{9-x^2}}$ と ${\displaystyle x}$ 軸と ${\displaystyle y}$ 軸に囲まれた図形は直線 $y=x$ に関して対称であることより

$y_{\text{G}}=x_{\text{G}}$

となる．

以上より，図形の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ の位置は， ${\displaystyle \left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)=\left(\frac{4}{\pi },\frac{4}{\pi }\right)}$ となる．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年3月8日

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