問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

円錐の重心の計算

■問題

図のような半径$R$の半球の重心を求めよ．

■答

円の底面より高さ ${\displaystyle \frac{3}{8}R}$ の位置

■ヒント

半球は，回転であるので，回転体の重心を参考にする．

■解説

半球の底面の円の中心を$x$ 軸の原点とし，底面は$x$軸に垂直になっている．

$x$ 軸の位置$x$ における${\displaystyle x}$軸に垂直で厚さが微小な${\displaystyle dx}$の円板の半径$r$は

${\displaystyle r=\sqrt{R^2-x^2}}$

となる．よって，円板の体積${\displaystyle dV}$は

${\displaystyle \begin{array}{ccc}dV& =& \pi r^{2}dx\end{array}}$${\displaystyle =\pi \left(R^2-x^2\right)dx}$　･･････(1)

となる．重心は ${\displaystyle x}$ 軸上にあるので，重心の ${\displaystyle x}$ 座標を ${\displaystyle x_G}$ とすると

${\displaystyle x_G=\frac{{\displaystyle {\int }_0^{R}x}dV}{{\displaystyle {\int }_0^R}dV}}$${\displaystyle =\frac{{{\displaystyle \int }}_0^{R}x\pi \left(R^2-x^2\right)dx}{{{\displaystyle \int }}_0^R\pi \left(R^2-x^2\right)dx}}$${\displaystyle =\frac{\pi {{\displaystyle \int }}_0^R\left(x{R}^2-x^3\right)dx}{\pi {{\displaystyle \int }}_0^R\left(R^2-x^2\right)dx}}$${\displaystyle =\frac{{\left[\frac{1}{2}{R}^{2}x-\frac{1}{4}{x}^4\right]}_0^R}{{\left[R^{2}x-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^R}}$${\displaystyle =\frac{\frac{1}{2}{R}^4-\frac{1}{4}{R}^4}{R^3-\frac{1}{3}{R}^3}}$${\displaystyle =\frac{\frac{1}{4}{R}^4}{\frac{2}{3}{R}^3}}$${\displaystyle =\frac{3}{8}R}$

となる．よって，重心の位置は， 円の底面より高さ ${\displaystyle \frac{3}{8}R}$ の位置にある．

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最終更新日： 2023年11月13日

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