${\displaystyle cosx=t}$と置換する方法

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int sinxcosxdx}$ 　

■答

${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$  （ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

置換積分法より

${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(x\right)dx={\displaystyle \int f\left(x\right)\frac{dx}{dt}}}dt}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \int f\left(g\left(t\right)\right)}{g}^{\prime }\left(t\right)dt}$  ･･････ ${\displaystyle \left(1\right)}$

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int xdx=\frac{1}{1+a}{x}^{1+a}+C}$  ･･････ ${\displaystyle \left(2\right)}$        ( $C$  は積分定数)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle cosx=t}$  ･･････${\displaystyle \left(3\right)}$

とおいて，置換積分する．置換積分の詳細は置換積分法を参照

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin x}$ 　　→　${\displaystyle dt=\sin xdx}$ 　･･････${\displaystyle \left(4\right)}$

（ ${\displaystyle cosx}$ 　を微分すると ${\displaystyle -\sin x}$　になるのは，ここ 　を参照）

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int \cos x·\sin xdx}}$${\displaystyle =\int t·\left(-dt\right)}$ 　

与式に ${\displaystyle \left(3\right)}$ ，${\displaystyle \left(4\right)}$ を用いて置換積分する

${\displaystyle =-{\displaystyle \int tdt}}$ 　 （−を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

方針の公式${\displaystyle \left(2\right)}$にを用いる

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{t}^2+C}$ 　

はじめに${\displaystyle \left(3\right)}$とおいているので，元に戻す

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{\cos }^{2}x+C}$ 　

これは ${\displaystyle 2}$ 倍角の公式によって求まった答 ${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$  と異なっているが，${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ を変形すると${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$ になる．

半角の公式の${\displaystyle 2}$ 番目の式より

${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left(\frac{1+cos2x}{2}\right)+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}cos2x-\frac{1}{4}+C}$

ここで，${\displaystyle -\frac{1}{4}+C}$  も任意の定数となるので，${\displaystyle -\frac{1}{4}+C}$  を改めて${\displaystyle C}$  とかき直す． 

${\displaystyle =-\frac{1}{4}cos2x+C}$

よって，このことから， ${\displaystyle cosx=t}$  とおいて置換積分する方法でも解くことができる．

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$  を微分し，積分前の式 　${\displaystyle sinxcosx}$  に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日