${\displaystyle cosx=t}$ と置換する方法

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int sinxcosxdx}$

■答

${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ （ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

あるいは

${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$

でもよい．

■ヒント

置換積分法より

${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(x\right)dx={\displaystyle \int f\left(x\right)\frac{dx}{dt}}}dt}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \int f\left(g\left(t\right)\right)}{g}^{\prime }\left(t\right)dt}$ ･･････(1)

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int xdx=\frac{1}{1+a}{x}^{1+a}+C}$ ･･････(2) 　( $C$ は積分定数)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle cosx=t}$ ･･････(3)

とおいて，置換積分する．置換積分の詳細は置換積分法を参照

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin x}$ →　 ${\displaystyle dt=\sin xdx}$ ･･････(4)

（ ${\displaystyle cosx}$ を微分すると ${\displaystyle -\sin x}$ になるのは，ここ 　を参照）

(3)，(4) を用いて置換積分をする．

${\displaystyle {\displaystyle \int \cos x·\sin xdx}}$ ${\displaystyle =\int t·\left(-dt\right)}$

${\displaystyle =-{\displaystyle \int tdt}}$ （－を積分記号 ${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

方針の公式(2)にを用いる．

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{t}^2+C}$

はじめに(3)とおいているので，元に戻す．

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{\cos }^{2}x+C}$

これは，2倍角の公式によって求まった答 ${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ と異なっているが， ${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ を変形すると ${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$ になる．

半角の公式の 2 番目の式より

${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left(\frac{1+cos2x}{2}\right)+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}cos2x-\frac{1}{4}+C}$

ここで， ${\displaystyle -\frac{1}{4}+C}$ も任意の定数となるので， ${\displaystyle -\frac{1}{4}+C}$ を改めて ${\displaystyle C}$ とかき直す．

${\displaystyle =-\frac{1}{4}cos2x+C}$

よって，このことから， ${\displaystyle cosx=t}$ とおいて置換積分する方法でも解くことができる．

　

■確認問題

求まった答え　 ${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$ ， ${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle sinxcosx}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2025年3月7日