不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int {\sin }^3}xdx}$  

■答

${\displaystyle -\cos \theta +\frac{1}{3}{\cos }^3\theta +C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

三角関数(三角比)の相互関係より

${\displaystyle {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1}$　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int {\sin }^3}xdx}$ 

始めに(1)の${\displaystyle {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1}$　･･････(2) を変形し

${\displaystyle {\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta }$　･･････(3)

とする

次に

${\displaystyle {\sin }^3\theta =\sin \theta {\sin }^2\theta }$

として，(3)を上式を代入する．

${\displaystyle {\sin }^3\theta =\sin \theta \left(1-{\cos }^{2}x\right)}$

よって

${\displaystyle {\displaystyle \int {\sin }^3\theta ={\displaystyle \int \sin \left(1-{\cos }^2\theta \right)}}dx}$ 　

ここで， ${\displaystyle \cos \theta =t}$ と置いて，置換積分する（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin \theta }$ 　→　${\displaystyle \sin \theta dx=-dt}$

よって

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(1-t^2\right)}\left(-1\right)dt}$  

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \left(1-t^2\right)}dt}$

${\displaystyle =-\left(t-\frac{1}{3}{t}^3\right)+C}$

（ 基本となる関数の積分を参照）

${\displaystyle =-\cos \theta +\frac{1}{3}{\cos }^3\theta +C}$　　（$C$は積分定数）

　

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最終更新日： 2024年7月18日