不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int {\sin }^3}xdx}$  

■解説動画

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■答

${\displaystyle -\cos x+\frac{1}{3}{\cos }^{3}x+C}$ （ $C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$ （ $C$ は積分定数）　･･････(1)

三角関数(三角比)の相互関係より

${\displaystyle {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1}$ ･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int {\sin }^3}xdx}$  

始めに(1)の ${\displaystyle {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1}$ ･･････(2) を変形し

${\displaystyle {\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x}$ ･･････(3)

とする

次に

${\displaystyle {\sin }^{3}x=\sin x{\sin }^{2}x}$

として，(3)を上式を代入する．

${\displaystyle {\sin }^{3}x=\sin x\left(1-{\cos }^{2}x\right)}$

よって

${\displaystyle {\displaystyle \int {\sin }^{3}x={\displaystyle \int \sin x\left(1-{\cos }^{2}x\right)}}dx}$

ここで， ${\displaystyle \cos x=t}$ と置いて，置換積分する（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin x}$ →　 ${\displaystyle \sin xdx=-dt}$

よって

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(1-t^2\right)}\left(-1\right)dt}$  

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \left(1-t^2\right)}dt}$

${\displaystyle =-\left(t-\frac{1}{3}{t}^3\right)+C}$

（ 基本となる関数の積分を参照）

${\displaystyle =-\cos x+\frac{1}{3}{\cos }^{3}x+C}$ （ $C$ は積分定数）

●別解

3倍角の公式より

${\displaystyle \sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x}$

${\displaystyle 4{\sin }^{3}x=3\sin x-\sin 3x}$

${\displaystyle {\sin }^{3}x=\frac{3}{4}\sin x-\frac{1}{4}\sin 3x}$

が導かれ，これを与式に代入する．

${\displaystyle {\displaystyle \int {\sin }^{3}xdx=}{\displaystyle \int \left(\frac{3}{4}\sin x-\frac{1}{4}\sin 3x\right)}}$

${\displaystyle =-\frac{3}{4}\cos x-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right)+C}$

${\displaystyle =-\frac{3}{4}\cos x+\frac{1}{12}\cos 3x+C}$ （ $C$ は積分定数）

上記計算結果と異なるが，これも解となる．

3倍角の公式 $\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$ を用いて，式を整理しなおしてみる．

${\displaystyle =-\frac{1}{4}\cos x+\frac{1}{12}\left(4{\cos }^{3}x-3\cos x\right)+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}\cos x+\frac{1}{3}{\cos }^{3}x-\frac{3}{4}\cos x+C}$

${\displaystyle =-\cos x+\frac{1}{3}{\cos }^{3}x+C}$

となり，上記解と一致した．

　

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最終更新日： 2026年7月5日