定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_2^{4}xlogxdx}$ 　

■答

${\displaystyle 14log2-3}$ 　

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$　･･････(1) 　

部分積分法より

${\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$　･･････(2) 　　

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int xlogxdx}$ を求めておく．

${\displaystyle \int xlogxdx=\int logx{\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}^{\prime }dx}$ 　

と見て部分積分法を用いる．

与式${\displaystyle =\int logx{\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}^{\prime }dx}$ 　

${\displaystyle =\left(logx\right)\cdot \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}$${\displaystyle -\int {\left(logx\right)}^{\prime }\cdot \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)dx}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^{2}logx-\int \left(\frac{1}{x}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)dx}$ 　

（${\displaystyle {\left(logx\right)}^{\prime }}$ が ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ になるのは， 微分　 ${\displaystyle logx}$ を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^{2}logx-\frac{1}{2}\int xdx}$ 　

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$を積分記号${\displaystyle \int }$の前に移せるのは， 不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^{2}logx-\frac{1}{4}{x}^2+C}$ 　

（${\displaystyle C}$ は積分定数）
（これが ${\displaystyle xlogx}$　の原始関数である）

よって，定積分の計算式（ヒントの式(1))より

${\displaystyle {\int }_2^{4}xlogxdx={\left[\frac{1}{2}{x}^{2}logx-\frac{1}{4}{x}^2\right]}_2^4}$ 　

となる．

${\displaystyle =\left(8log4-4\right)-\left(2log2-1\right)}$ 　

${\displaystyle =8log{2}^2-4-2log2+1}$ 　

${\displaystyle =16log2-2log2-3}$ 　

（ ${\displaystyle {log}_a{R}^t=t{log}_{a}R}$ の証明を参照）

${\displaystyle =14log2-3}$ 　

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月23日