定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_2^{4}xlogxdx}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle 14log2-3}$

■ヒント

部分積分法

${\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$ ･･････(1)

定積分の基本式

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ ･･････(2)

部分積分法の定積分

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ ${\displaystyle ={\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$ ･･････(3)

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int xlogxdx}$ を求めておく．

${\displaystyle \int xlogxdx=\int logx{\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}^{\prime }dx}$

と見て部分積分法（ヒントの(1))を用いる．

与式 ${\displaystyle =\int logx{\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}^{\prime }dx}$

${\displaystyle =\left(logx\right)\cdot \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}$ ${\displaystyle -\int {\left(logx\right)}^{\prime }\cdot \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)dx}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^{2}logx-\int \left(\frac{1}{x}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)dx}$

（ ${\displaystyle {\left(logx\right)}^{\prime }}$ が ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ になるのは， 微分 ${\displaystyle logx}$ を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^{2}logx-\frac{1}{2}\int xdx}$

（ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を積分記号 ${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは， 不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^{2}logx-\frac{1}{4}{x}^2+C}$

（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）
（これが ${\displaystyle xlogx}$ の原始関数である）

よって，定積分の計算式（ヒントの(2))より

${\displaystyle {\int }_2^{4}xlogxdx={\left[\frac{1}{2}{x}^{2}logx-\frac{1}{4}{x}^2\right]}_2^4}$

となる．

${\displaystyle =\left(8log4-4\right)-\left(2log2-1\right)}$

${\displaystyle =8log{2}^2-4-2log2+1}$

${\displaystyle =16log2-2log2-3}$

（ ${\displaystyle {log}_a{R}^t=t{log}_{a}R}$ の証明を参照）

${\displaystyle =14log2-3}$

●別解

(3)を用いて計算する．

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_2^{4}x\log xdx}$ ${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}_2^4{\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}^{\prime }\log xdx}$ （(3)において， ${\displaystyle f\left(x\right)=\log x}$ ， ${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)=x}$ としている．）

${\displaystyle ={\left[\frac{1}{2}{x}^2\log x\right]}_2^4}$ ${\displaystyle -{{\displaystyle \int }}_2^4\left(\frac{1}{2}{x}^2\right){\left(\log x\right)}^{\prime }dx}$

${\displaystyle =\left(\frac{1}{2}\cdot 4^2\log 4-\frac{1}{2}\cdot 2^2\log 2\right)}$ ${\displaystyle -{{\displaystyle \int }}_2^4\left(\frac{1}{2}{x}^2\cdot \frac{1}{x}\right)dx}$

${\displaystyle =8\log 2^2-2\log 2-{{\displaystyle \int }}_2^4\frac{1}{2}xdx}$

${\displaystyle =16\log 2-2\log 2-{\left[\frac{1}{4}{x}^2\right]}_2^4}$

${\displaystyle =14\log 2-\left(\frac{1}{4}\cdot 4^2-\frac{1}{4}\cdot 2^2\right)}$

${\displaystyle =14\log 2-3}$

　

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最終更新日： 2025年10月16日