定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{sin}^{4}x{cos}^{2}xdx}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \frac{1}{32}\pi }$

■ヒント

ウォリス積分

を用いる．

■解説

${\displaystyle {cos}^{2}x=1-{sin}^{2}x}$ （三角関数の関係式の ${\displaystyle 1}$ 番目の式を変形する）より

与式 ${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{sin}^{4}x\left(1-{sin}^{2}x\right)dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left({sin}^{4}x-{sin}^{6}x\right)dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{sin}^{4}xdx-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{sin}^{6}xdx}$ （∵ 定積分の基本式(3)）

ヒントの公式の ${\displaystyle n}$ に代入する値が ${\displaystyle 4}$ と ${\displaystyle 6}$ （偶数）なので，以下のようになる．

${\displaystyle =\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}-\frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}}$

${\displaystyle =\frac{3}{16}\pi -\frac{5}{32}\pi }$

${\displaystyle =\frac{1}{32}\pi }$

●別解

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}x{\cos }^{2}xdx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\left(\sin x\cos x\right)}^2{\sin }^{2}xdx}}$

2倍角の公式を用いて式を変形する．

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)}^2\cdot \frac{1}{2}\left(1-\cos 2x\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{8}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}2x\left(1-\cos 2x\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{8}\left\{{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}2xdx}-{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}2x\cos 2xdx}\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{8}\left(\frac{\pi }{4}+0\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{32}\pi }$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年10月29日