定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {sin}^{4} x {cos}^{2} x d x$ 　

■答

$\frac{1}{32} π$ 　

■ヒント

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {cos}^{n} x d x$ ${= \int}_{0}^{\frac{π}{2}} {sin}^{n} x d x$ $= \{\begin{matrix} \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 3}{n - 2} \dots \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} \\ \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 3}{n - 2} \dots \frac{2}{3} \cdot 1 \end{matrix}$

	$n$ ：偶数
	$n$ ：奇数

を用いる．

■解説

${cos}^{2} x = 1 - {sin}^{2} x$ （三角関数の関係式の $1$ 番目の式を変形する）より

与式 $= \int_{0}^{\frac{π}{2}} {sin}^{4} x (1 - {sin}^{2} x) d x$ 　

$= \int_{0}^{\frac{π}{2}} ({sin}^{4} x - {sin}^{6} x) d x$ 　

$= \int_{0}^{\frac{π}{2}} {sin}^{4} x d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} {sin}^{6} x d x$ 　　（∵ 定積分の基本式(3)）

ヒントの公式の $n$ に代入する値が $4$ と $6$ （偶数）なので，以下のようになる．

$= \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} - \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$ 　

$= \frac{3}{16} π - \frac{5}{32} π$ 　

$= \frac{1}{32} π$ 　

●別解

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} x \cos^{2} x d x$

$= \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin x \cos x)}^{2} \sin^{2} x d x$

2倍角の公式を用いて式を変形する．

$= \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1}{2} \sin 2 x)}^{2} \cdot \frac{1}{2} (1 - \cos 2 x) d x$

$= \frac{1}{8} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} 2 x (1 - \cos 2 x) d x$

$= \frac{1}{8} \{\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} 2 x d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} 2 x \cos 2 x d x\}$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} 2 x d x$ $= \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} (1 - \cos 2 x) d x$ $= \frac{1}{2} {[x - \frac{1}{2} \sin 2 x]}_{0}^{\frac{π}{2}}$ $= \frac{1}{2} \{(\frac{π}{2} - \frac{1}{2} \sin π) - (0 - \frac{1}{2} \sin 0)\}$ $= \frac{π}{4}$
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} 2 x \cos 2 x d x$
$\sin 2 x = t$ とおく置換積分で解く

$\frac{d t}{d x} = 2 \cos 2 x$ より $\cos 2 x d x = \frac{1}{2} d t$

$x : 0 \to \frac{π}{2}$ のとき $t : 0 \to 0$

よって

$= \int_{0}^{0} t^{2} \frac{1}{2} d t = 0$

$= \frac{1}{8} (\frac{π}{4} + 0)$

$= \frac{1}{32} π$

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年7月29日