次の問題を積分せよ(定積分)．
∫ 0 6 | x 2 −1 |dx
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定積分の基本式より
∫ a b f ( x ) d x = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) − F ( a ) ･･････(1)
基本となる関数の積分より
∫ x α dx= 1 α+1 x α+1 +C （ Cは積分定数） ･･････(2)
まず， | x 2 −1 | を場合分けする．
0≦x<2 のとき， | x 2 −1 |=−( x 2 −1 )
2≦x≦6 のとき， | x 2 −1 |=( x 2 −1 )
したがって
与式 = ∫ 0 2 { −( x 2 −1 ) } dx + ∫ 2 6 ( x 2 −1 ) dx
（この定積分の基本式を参照）
=− ∫ 0 2 ( x 2 −1 )dx + ∫ 2 6 ( x 2 −1 )dx
（ − を積分記号 ∫ の前に移せるのは， 不定積分の基本式を参照）
ヒントの式(2)を適用する．
=− [ 1 2 ⋅ 1 2 x 2 −x ] 0 2 + [ 1 2 ⋅ 1 2 x 2 −x ] 2 6
=− [ x 2 4 −x ] 0 2 + [ x 2 4 −x ] 2 6
=−{ ( 2 2 4 −2 )−( 0 4 −0 ) } +{ ( 6 2 4 −6 )−( 2 2 4 −2 ) }
=−( 4 4 −2 ) +{ ( 36 4 −6 )−( 4 4 −2 ) }
=−( 1−2 )+{ ( 9−6 )−( 1−2 ) }
=−( −1 )+{ 3−( −1 ) }
=1+( 3+1 )
=5
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学生スタッフ作成 最終更新日： 2024年7月28日