一般項の推測

■問題

次の数列の一般項 $a_{n}$ $a_{n}$ を推測せよ．

$1, - 11, 21, - 31, 41, \cdot \cdot \cdot$ $1, - 11, 21, - 31, 41, \cdot \cdot \cdot$

■答

$a_{n} = (10 n - 9) {(- 1)}^{n - 1}$ $a_{n} = (10 n - 9) {(- 1)}^{n - 1}$

■ヒント

各項を絶対値で考えると等差数列となることを利用し，等差数列の一般項の公式より

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

を用いる．

■解き方

与えられた数列を絶対値で考えると

$| 1 |, | - 11 |, | 21 |, | - 31 |, | 41 |, \cdot \cdot \cdot$ $| 1 |, | - 11 |, | 21 |, | - 31 |, | 41 |, \cdot \cdot \cdot$ $= 1, 11, 21, 31, 41, \cdot \cdot \cdot$ $= 1, 11, 21, 31, 41, \cdot \cdot \cdot$

となる．

この数列の一般項を ${a^{'}}_{n}$ とおく．

この数列は，初項 $1$ で各項に $10$ を加えた数字がその次の項になっている．

よって，初項 $a_{1} = 1$ ，公差 $d = 10$ であるから，その一般項 ${a^{'}}_{n}$ は等差数列の一般項の公式

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

より

${a^{'}}_{n}$ $= 1 + (n - 1) 10$ $= 1 + 10 n - 10$ $= 10 n - 9$

次に，与えられた数列は各項の符号が交互に＋，－になっている．

これを数列に合わせて一般化すると

${(- 1)}^{n - 1}$

よって，数列全体の一般項 $a_{n}$ は

$a_{n}$ $= {(- 1)}^{n - 1} {a^{'}}_{n}$ $= {(- 1)}^{n - 1} (10 n - 9)$

となる．

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日