問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

一般項の推測

■問題

次の数列の一般項${\displaystyle a_n}$ を推測せよ．

${\displaystyle 1,-11,21,-31,41,\cdot \cdot \cdot }$

■答

${\displaystyle a_n=\left(10n-9\right){\left(-1\right)}^{n-1}}$

■ヒント

各項を絶対値で考えると等差数列となることを利用し，等差数列の一般項の公式より

$a_n=a_1+\left(n-1\right)d$

を用いる．

■解き方

与えられた数列を絶対値で考えると

${\displaystyle \left|1\right|,\left|-11\right|,\left|21\right|,\left|-31\right|,\left|41\right|,\cdot \cdot \cdot }$ ${\displaystyle =1,11,21,31,41,\cdot \cdot \cdot }$

となる．

この数列の一般項を${\displaystyle {a^{\prime }}_n}$ とおく．

この数列は，初項 ${\displaystyle 1}$ で各項に${\displaystyle 10}$ を加えた数字がその次の項になっている．

よって，初項${\displaystyle a_1=1}$ ，公差${\displaystyle d=10}$ であるから，その一般項${\displaystyle {a^{\prime }}_n}$ は等差数列の一般項の公式

${\displaystyle a_n=a_1+\left(n-1\right)d}$

より

${\displaystyle {a^{\prime }}_n}$${\displaystyle =1+\left(n-1\right)10}$${\displaystyle =1+10n-10}$${\displaystyle =10n-9}$

次に，与えられた数列は各項の符号が交互に＋，−になっている．

これを数列に合わせて一般化すると

${\displaystyle {\left(-1\right)}^{n-1}}$

よって，数列全体の一般項${\displaystyle a_n}$ は

${\displaystyle a_n}$ ${\displaystyle ={\left(-1\right)}^{n-1}{a^{\prime }}_n}$$={\left(-1\right)}^{n-1}\left(10n-9\right)$

となる．

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日

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