等差数列の応用

■問題

$1000$ 以下の整数のうちの， $3$ で割り切れる数の和を求めよ．

$S = 166833$

始めに項数を求める．題意から，初項，公差を導き，等差数列に当てはめて考える．

題意から導いた数列の和は，等差数列の和の公式

$S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}$

を用いて求める．

$1000 \div 3 = 333.33 \cdot \cdot \cdot$

よって，項数 $n = 333$ ，末項 $333 \times 3 = 999$

与えられた等差数列は，初項 $a_{1} = 3$ ，末項 $a_{333} = 999$ ，公差 $d = 3$ の等差数列

$3, 6, 9, \cdot \cdot \cdot, 999$

の和である．項数は $n = 333$ であるから，初項から第333項までの和 $S_{333}$ は，等差数列の和の公式

$S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} = \frac{1}{2} n (a_{1} + a_{n})$

より

$S = S_{333}$ $= \frac{1}{2} \times 333 \times (3 + 999)$ $= 166833$

学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日