問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

数列の極限

■問題

数列

${\displaystyle 1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5},\dots ,\sqrt{n},\dots }$

すなわち第${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\sqrt{n}}$

の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{n}}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{n}=\infty }$

■ヒント

平方根の特徴を利用する．

■解き方

${\displaystyle m=k^2}$ ，${\displaystyle k=1,2,\cdots }$の関係を満たすとすると

${\displaystyle k\to \infty }$ ⇔ ${\displaystyle n\to \infty }$

となる．よって

${\displaystyle \underset{m\to \infty }{\lim }\sqrt{m}=\underset{k\to \infty }{\lim }\sqrt{k^2}=}$${\displaystyle \underset{k\to \infty }{\lim }k=\infty }$

となる．

次に，$n>m=k^2$となる$n$を考えると

$n\to \infty$のとき，$m\to \infty$より

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}>\underset{m\to \infty }{\lim }\sqrt{m}=\infty$

が導かれる．したがって

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}=\infty$

となる．

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年12月15日

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