問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle 2\left(\frac{3}{7}-8\right),2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^2-8\right\}}$${\displaystyle ,2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^3-8\right\},\cdot \cdot \cdot }$${\displaystyle ,2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^n-8\right\}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^n-8\right\}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^n-8\right\}}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^n-8\right\}=-16}$

■ヒント

${\displaystyle \frac{3}{7}<1}$ である．

■解き方

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^n-8\right\}}$${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\left\{{2\left(\frac{3}{7}\right)}^n-16\right\}}$

${\displaystyle \frac{3}{7}<1}$ より${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{3}{7}\right)}^n=0}$ ($\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n$を参照 )．よって

${\displaystyle =-16}$

すなわち，与式は${\displaystyle -16}$ に収束する．

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日

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