問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle \left(3+\frac{1}{1+3}\right)\left(2+\frac{1}{2}\right)}$${\displaystyle ,\left(3+\frac{1}{2+3}\right)\left(2+\frac{1}{4}\right)}$${\displaystyle ,\left(3+\frac{1}{3+3}\right)\left(2+\frac{1}{6}\right)}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot ,\left(3+\frac{1}{n+3}\right)\left(2+\frac{1}{2n}\right)}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち， 第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\left(3+\frac{1}{n+3}\right)\left(2+\frac{1}{2n}\right)}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n}$${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\left(3+\frac{1}{n+3}\right)\left(2+\frac{1}{2n}\right)}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n}$${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\left(3+\frac{1}{n+3}\right)\left(2+\frac{1}{2n}\right)}$${\displaystyle =6}$

■ヒント

${\displaystyle n}$ が含まれていない項は一定であるから,${\displaystyle \frac{1}{n+3},\frac{1}{2n}}$ の ${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle \infty }$ になったときの値を調べれば良い．

■解き方

${\displaystyle \left[1\right]}$ ${\displaystyle \frac{1}{n+3}}$

分子は一定${\displaystyle \left(=1\right)}$ で，${\displaystyle n}$ が大きくなると分母 ${\displaystyle n+3}$ は大きくなることより

${\displaystyle n\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle 1n+3}$ は${\displaystyle 0}$ に収束する

${\displaystyle \left[2\right]}$ ${\displaystyle \frac{1}{2n}}$

分子は一定${\displaystyle \left(=1\right)}$ で，${\displaystyle n}$ が大きくなると分母 ${\displaystyle 2n}$ は大きくなることより

${\displaystyle n\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle \frac{1}{2n}}$ は${\displaystyle 0}$ に収束する．

${\displaystyle \left[1\right],\left[2\right]}$ より

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\left(3+\frac{1}{n+3}\right)\left(2+\frac{1}{2n}\right)}$${\displaystyle =\left(3+0\right)\left(2+0\right)}$${\displaystyle =3\times 2}$${\displaystyle =6}$

よって，与式は${\displaystyle 6}$ に収束する．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月28日

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