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知っていると便利な積分の公式

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2} {f}^{\prime } \(x\) \hspace{2}}{\hspace{2} f \(x\) \hspace{2}} dx=\log \| f \(x\) \| +C}$ 　⇒導出
$3$\displaystyle{\int f \( ax+b \) dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} F \( ax+b \) +C }$ 　⇒導出
被積分関数が $3$\displaystyle{f \( \sin x \) \cos x}$ と表されるとき， $3$\displaystyle{\sin x=t}$ とおく置換積分を行う．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\cos x\rightarrow \cos xdx=dt}$ より， $3$\displaystyle{ \int f \( \sin x \) \cos xdx =\int f \(t\) dt }$ 　⇒解説と例題
被積分関数が $3$\displaystyle{f \( \cos x \) \sin x}$ と表されるとき， $3$\displaystyle{\cos \hspace{5}x=t}$ とおく置換積分を行う．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- \sin x\rightarrow \sin xdx=- dt}$ より， $3$\displaystyle{ \int f \( \cos x \) \sin xdx =- \int f \(t\) dt }$ 　⇒解説と例題
被積分関数が $3$\displaystyle{f \( \tan x \) \cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}}$ と表されるとき， $3$\displaystyle{\tan x=t}$ とおく置換積分を行う．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}\rightarrow \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}dx=dt}$ より， $3$\displaystyle{\int f \( \tan x \) \cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}dx=\int f \(t\) dt}$ 　 ⇒解説と例題
被積分関数が $3$\displaystyle{f \( \sin x,\cos x \) }$ と表されるとき， $3$\displaystyle{\tan \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=t}$ とおく置換積分を行う．
$3$\displaystyle{\displaystyle{\sin x=\frac{\hspace{2} 2t \hspace{2}}{\hspace{2} 1+ {t}^{2} \hspace{2}}}}$ ， $3$\displaystyle{ \cos x=\frac{\hspace{2} 1- {t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+ {t}^{2} \hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ dx=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 1+ {t}^{2} \hspace{2}}dt }$ 　より

$3$\displaystyle{ \int f\(\sin x,\cos x\)dx }$ $3$\displaystyle{ =\int f\left({ \frac{\hspace{2} 2t \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}},\frac{\hspace{2} 1- {t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}} }\right)\cdot \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}dt }$ 　 ⇒ここを参照

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最終更新日： 2025年4月26日