微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y=\sqrt{ 2x+3 } }$

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■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }= \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2x+3 } \hspace{2}} }$

■ヒント

基本となる関数の導関数

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime } $x$ ={ $ {x}^{a} $ }^{\prime }=a{x}^{ a- 1 } }$

　　( $3$a$ は実数)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ y=\sqrt{ 2x+3 } }$

（計算しやすいよう， $3$\displaystyle{ \sqrt{ 2x+3 } }$ の累乗根を指数を用いた形に変換）

$3$\displaystyle{ ={ $ 2x+3 $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }$

（ $3$\displaystyle{ \sqrt{ 2x+3 }={ $ 2x+3 $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }$ は指数が有理数の場合を参照)

次に

$3$\displaystyle{y=\sqrt{u}}$ ， $3$\displaystyle{ u=2x+3 }$

と置き，合成関数の微分をする．

$3$\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{u}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{u} \hspace{2}}}}}$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}$ 2x+ 3 $ }^{ }=2 }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$ より

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{u} \hspace{2}}\cdot 2 }$ $3$\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\sqrt{u}\hspace{2}}}}}}$ $3$\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{=\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\sqrt{ 2x+ 3 }\hspace{2}}}}}}}$

●別解

$3$\displaystyle{ y=\sqrt{ 2x+3 } }$ を $3$\displaystyle{ y=f$x$=\displaystyle{\sqrt{ x }} }$ ， $3$\displaystyle{ g$x$=2x+3 }$ と考えると， $3$\displaystyle{ y=f$g\(x$\) }$ となる合成関数になる．

合成関数の導関数 $3$\displaystyle{ {y}^{\prime }={f}^{\prime }$g\(x$\)\cdot {g}^{\prime }$x$ }$ より

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }={ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}$2x+3$ }^{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}\cdot 2 }$ $3$\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{=\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\sqrt{ 2x+ 3 }\hspace{2}}}}}}}$

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最終更新日： 2025年2月20日