微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y={4}^{x} }$

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■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }={4}^{x}\log 4}$

■ヒント

指数関数の底を $3$\displaystyle{e}$ に変換してから指数関数の微分の公式より，微分する．

$3$\displaystyle{{ $ {a}^{x} $ }^{\prime }={ $ {e}^{ \log {a}^{x} } $ }^{\prime }={e}^{ x\log a }}$ 　　　　　

の式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ y={4}^{x} }$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }={\left({{e}^{ \log {4}^{x} }}\right)}^{\prime } }$

( $3$\displaystyle{ {4}^{x}={e}^{ \log {4}^{x} } }$ と変形する．)

$3$\displaystyle{ ={ $ {e}^{ x\log 4 } $ }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ ={e}^{ x\log 4 }{ $ x\log 4 $ }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{={e}^{ x\log 4 }\log 4}$ $3$\displaystyle{={4}^{x}\log 4}$

（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{ {e}^{ x\log 4 }={e}^{ \log {4}^{x} }={4}^{x} }$ ）

$3$\displaystyle{{\left({ {e}^{ x\log 4 } }\right)}^{\prime }}$ を詳しく説明する．

$3$\displaystyle{y={e}^{ x\log 4 }}$ を(1)，(2)の合成関数と考える．

$3$\displaystyle{y={e}^{u}}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{u=x\log 4}$ ･･････(2)

合成関数の微分の公式

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ ･･････(3)

を用いる

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}={e}^{u}}$ ここを参照　･･････(4)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}x\log 4}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\left({ \log 4 }\right)x}$ $3$\displaystyle{=\log 4}$ ･･････(5)

(3)に(4)，(5)を代入する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={e}^{u}\log 4}$ $3$\displaystyle{={e}^{ x\log 4 }\log 4}$ $3$\displaystyle{={4}^{x}\log 4}$

●別解

対数微分法を用いる．

$3$\displaystyle{y={4}^{x}}$

の両辺の自然対数をとる．

$3$\displaystyle{\log y=\log {4}^{x}}$

$3$\displaystyle{\log y=x\log 4}$ （∵対数の性質： $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}{R}^{t}=t\hspace{1}{\log }_{a}R}$ ）

両辺を $3$\displaystyle{x}$ で微分する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} $ \log y $ =\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} $ x\log 4 $ }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\log 4}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=y\log 4}$ $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }={4}^{x}\log 4}$

【備考】

$3$\displaystyle{z=\log y}$

とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} $ \log y $ =\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{z}$ を

$3$\displaystyle{z=\log y}$ ， $3$\displaystyle{y={4}^{x}}$

の合成関数と考えている．

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最終更新日： 2025年2月20日