微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y=\tan 2x }$

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■答

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}} }$

■ヒント

tanxの微分と合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

$3$\displaystyle{ y=\tan 2x }$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}}\cdot {\left({ 2x }\right)}^{\prime }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}}}$

（ $3$\displaystyle{ y=\tan u=f$u$ }$ ， $3$\displaystyle{ u=2x=g$x$ }$ と考えている．）

● $3$\displaystyle{\tan 2x=\frac{\hspace{2} \sin 2x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos 2x \hspace{2}}}$ と書き変えて計算する場合

$3$\displaystyle{{\left({ \tan x }\right)}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}}$ を忘れている場合は，三角関数の相互関係を利用して(1)のように式を書き変えて微分する，

$3$\displaystyle{y=\tan 2x=\frac{\hspace{2} \sin 2x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos 2x \hspace{2}}}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }={\left({ \frac{\hspace{2} \sin 2x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos 2x \hspace{2}} }\right)}^{\prime }}$

商の微分の公式を適用して

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { \left({ \sin 2x }\right) }^{\prime }\cos 2x- \sin 2x{ \left({ \cos 2x }\right) }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ \cos 2x }\right) }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2\cos 2x\cos 2x- \sin 2x\left({ - 2\sin 2x }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2\left({ { \cos }^{2}2x- { \sin }^{2}2x }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{\left({ \sin 2x }\right)}^{\prime }=2\cos 2x}$ ⇒ここを参照， $3$\displaystyle{{\left({ \cos 2x }\right)}^{\prime }=- 2\sin 2x}$ ⇒ここを参照

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2\cdot 1 \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}}}$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年2月20日

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■解説

● と書き変えて計算する場合

● $3$\displaystyle{\tan 2x=\frac{\hspace{2} \sin 2x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos 2x \hspace{2}}}$ と書き変えて計算する場合