ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime\prime }- 2{y}^{\prime }+y=0 }$

(初期条件： $3$\displaystyle{ y\left({0}\right)=2 }$ ， $3$\displaystyle{ {y}^{\prime }\left({0}\right)=3 }$ )

■答

$3$\displaystyle{y=t{e}^{t}+2{e}^{t}}$

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く．

■解き方

ラプラス変換すると

$3$\displaystyle{y{\rightarrow }\limits^{L}Y\left({s}\right)}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }{\rightarrow }\limits^{L}sY\left({s}\right)- y\left({0}\right)}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }{\rightarrow }\limits^{L}{s}^{2}Y\left({s}\right)- s\cdot y\left({0}\right)- {y}^{\prime }\left({0}\right)}$

となり，これらを式に代入

$3$\displaystyle{ {s}^{2}Y\left({s}\right)- sy\left({0}\right)- {y}^{\prime }\left({0}\right) }$ $3$\displaystyle{ - 2 $ sY\left({s}\right)- y\left({0}\right) $ }$ $3$\displaystyle{ +Y\left({s}\right)=0 }$

初期条件より

$3$\displaystyle{{s}^{2}Y\left({s}\right)- 2s+3- 2 $ sY\left({s}\right)- 2 $ +Y\left({s}\right)=0}$

$3$\displaystyle{ $ {s}^{2}- 2s+1 $ Y\left({s}\right)- 2s+1=0}$

$3$\displaystyle{Y\left({s}\right)=\frac{\hspace{2} 2s- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} { $ s- 1 $ }^{2} \hspace{2}}}$

ここで，部分分数分解をする．

$3$\displaystyle{Y\left({s}\right)=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{k}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ s- 1 $ }^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{k}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} s- 1 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{k}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ s- 1 $ }^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{k}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} s- 1 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 2s- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} { $ s- 1 $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{k}_{2}s+\hspace{1}{k}_{1}- \hspace{1}{k}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ s- 1 $ }^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 2s- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} { $ s- 1 $ }^{2} \hspace{2}}}$

分子を係数比較すると

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{k}_{1}=1 }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{k}_{2}=2 }$

よって

$3$\displaystyle{Y\left({s}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { $ s- 1 $ }^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} s- 1 \hspace{2}}}$