ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime\prime }- 10{y}^{\prime }+29y=0 }$

(初期条件： $3$\displaystyle{ y\left({0}\right)=- 1 }$ ， $3$\displaystyle{ {y}^{\prime }\left({0}\right)=0 }$ )

■答

$3$\displaystyle{ y={e}^{ 5t } $ - \cos 2t+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2t $ }$

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く

■解き方

ラプラス変換をすると

$3$\displaystyle{y{\rightarrow }\limits^{L}Y\left({s}\right)}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }{\rightarrow }\limits^{L}sY\left({s}\right)- y\left({0}\right)}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }{\rightarrow }\limits^{L}{s}^{2}Y\left({s}\right)- s\cdot y\left({0}\right)- {y}^{\prime }\left({0}\right)}$

となり，これらを式に代入

$3$\displaystyle{ {s}^{2}Y\left({s}\right)- sy\left({0}\right)- {y}^{\prime }\left({0}\right) }$ $3$\displaystyle{ - 10 $ sY\left({s}\right)- y\left({0}\right) $ }$ $3$\displaystyle{ +29Y\left({s}\right) }$ $3$\displaystyle{ =0 }$

初期条件より

$3$\displaystyle{{s}^{2}Y\left({s}\right)+s- 10 $ sY\left({s}\right)+1 $ +29Y\left({s}\right)=0}$

$3$\displaystyle{ $ {s}^{2}- 10s+29 $ Y\left({s}\right)+s- 10=0}$

$3$\displaystyle{Y\left({s}\right)=\frac{\hspace{2} - s+10 \hspace{2}}{\hspace{2} {s}^{2}- 10s+29 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{Y\left({s}\right)=\frac{\hspace{2} - s+10 \hspace{2}}{\hspace{2} $ s- 5+2i $ $ s- 5- 2i $ \hspace{2}}}$

ここで，部分分数分解をする．

$3$\displaystyle{Y\left({s}\right)=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{k}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} s- 5+2i \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{k}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} s- 5- 2i \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{k}_{1}={ \lim }\limits_{ s\rightarrow 5- 2i } $ s- 5+2i $ \frac{\hspace{2} - s+10 \hspace{2}}{\hspace{2} $ s- 5+2i $ $ s- 5- 2i $ \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} 2- 5i \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{k}_{2}={ \lim }\limits_{ s\rightarrow 5+2i } $ s- 5- 2i $ \frac{\hspace{2} - s+10 \hspace{2}}{\hspace{2} $ s- 5+2i $ $ s- 5- 2i $ \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} 2+5i \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{Y\left({s}\right)=- \frac{\hspace{2} 2- 5i \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s- 5+2i \hspace{2}}- \frac{\hspace{2} 2+5i \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s- 5- 2i \hspace{2}}}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

$3$\displaystyle{y}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 2- 5i \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{e}^{ $ 5- 2i $ t }- \frac{\hspace{2} 2+5i \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{e}^{ $ 5+2i $ t }}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} \{ $ 2- 5i $ {e}^{ 5t }\cdot {e}^{ - 2it }+ $ 2+5i $ {e}^{ 5t }\cdot {e}^{ 2it } \} }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{e}^{ 5t } \{ $ 2- 5i $ {e}^{ - 2it }+ $ 2+5i $ {e}^{ 2it } \} }$

オイラーの公式より

$3$\displaystyle{y}$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{e}^{ 5t } \{ $ 2- 5i $ $ \cos 2t- i\sin 2t $ }$ $3$\displaystyle{ + $2 }$ $3$\displaystyle{ +5i $ $ \cos 2t+i\sin 2t $ \} }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{e}^{ 5t } \{ $ 2- 5i+2+5i $ \cos 2t }$ $3$\displaystyle{ + $ - 2 }$ $3$\displaystyle{ +5i }$ $3$\displaystyle{ +2+5i $ i\sin 2t \} }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{e}^{ 5t } $ 4\cos 2t- 10\sin 2t $ }$

$3$\displaystyle{={e}^{ 5t } $ - \cos 2t+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2t $ }$

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く．

特性方程式

$3$\displaystyle{{{\lambda}}^{2}- 10{\lambda}+29=0}$

より

$3$\displaystyle{{\lambda}=5\pm 2i}$

よって一般解は

$3$\displaystyle{y={e}^{ 5t } $ \hspace{1}{C}_{1}\cos 2t+\hspace{1}{C}_{2}\sin 2t $ }$ 　　　　(ただし $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{1}，\hspace{1}{C}_{2}}$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。は任意定数)

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=5{e}^{ 5t } $ \hspace{1}{C}_{1}\cos 2t+\hspace{1}{C}_{2}\sin 2t $ }$ $3$\displaystyle{ +{e}^{ 5t } $ - 2\hspace{1}{C}_{1}\sin 2t }$ $3$\displaystyle{ +2\hspace{1}{C}_{2}\cos 2t $ }$

初期条件より

$3$\displaystyle{y\left({0}\right)=\hspace{1}{C}_{1}}$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }\left({0}\right)=5\hspace{1}{C}_{1}+2\hspace{1}{C}_{2}}$ 　･････(2)

(1)，(2)より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{1}=- 1,\hspace{1}{C}_{2}=\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{ y={e}^{ 5t } $ - \cos 2t+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2t $ }$

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最終更新日： 2023年6月6日