不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} {e}^{ 2x } \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 2x }- 1 \hspace{2}} dx }$ 　　

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \| {e}^{ 2x }- 1 \| +C }$ 　　（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx=\log \|x\| +C }$ 　･･････ $3$\displaystyle{ $1$ }$ （ $3$C$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} {e}^{ 2x } \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 2x }- 1 \hspace{2}}dx }$ 　　

$3$\displaystyle{ {e}^{ 2x }- 1=t }$ 　とおいて，置換積分する．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=2{e}^{ 2x }}$ , 　 $3$\displaystyle{dt=2{e}^{ 2x }\cdot dx}$ , 　∴ $3$\displaystyle{ {e}^{ 2x }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt }$ 　

与式 $3$\displaystyle{ =\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt }$ 　　

（置換積分法の公式にあてはめる）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}dt }$ 　　

（ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ を積分記号 $3$\displaystyle{\int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式の $3$\displaystyle{1}$ つ目の式を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \|t\| +C }$ 　

（方針の公式 $3$\displaystyle{ $1$ }$ にあてはめる）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \| {e}^{ 2x }- 1 \| +C }$ 　　

（最初に $3$\displaystyle{ {e}^{ 2x }- 1=t }$ と置換したので，元に戻す）

■別解（1）

$3$\displaystyle{ {e}^{ 2x }=t }$ 　とおいて，置換積分する．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

与式 $3$\displaystyle{ =\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} t- 1 \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt }$ 　　

（置換積分法の公式にあてはめる）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} t- 1 \hspace{2}} dt }$ 　　

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \| t- 1 \| +C }$ 　　

（方針の公式 $3$\displaystyle{ $1$ }$ にあてはめる）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \| {e}^{ 2x }- 1 \| +C }$ 　　

（最初に $3$\displaystyle{ {e}^{ 2x }=t }$ と置換したので，元に戻す）

■別解（2）

積分の計算手順より

$3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} {f}^{\prime } $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} f $x$ \hspace{2}} dx=\log \| f $x$ \| +C }$ 　･･････ $3$\displaystyle{ $2$ }$ 　

の公式を用いる．

$3$\displaystyle{ { $ {e}^{ 2x }- 1 $ }^{\prime }=2{e}^{ 2x } }$ 　より　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {e}^{ 2x } \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 2x }- 1 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} 2{e}^{ 2x } \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 2x }- 1 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} { $ {e}^{ 2x }- 1 $ }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 2x }- 1 \hspace{2}} }$ 　と考える．

与式 $3$\displaystyle{ =\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} { $ {e}^{ 2x }- 1 $ }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 2x }- 1 \hspace{2}} dx }$ 　　

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\int \frac{\hspace{2} { $ {e}^{ 2x }- 1 $ }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 2x }- 1 \hspace{2}} dx }$ 　　

（ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ を積分記号 $3$\displaystyle{ \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式の $3$\displaystyle{1}$ つ目の式を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \| {e}^{ 2x }- 1 \| +C }$ 　　

（公式 $3$\displaystyle{ $2$ }$ にあてはめる）

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \| {e}^{ 2x }- 1 \| +C }$ 　を微分し，積分前の式　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {e}^{ 2x } \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 2x }- 1 \hspace{2}} }$ 　に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月24日