不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 4 \hspace{2}}dx }$ 　　

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\log \| \frac{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}{\hspace{2} x+2 \hspace{2}} \| +C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

部分分数に分解することにより積分できる形に式を変形する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- {a}^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- a \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+a \hspace{2}} $ }$ 　･･････(1)

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx=\log \|x\| +C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 4 \hspace{2}} }$ を部分分数に分解する．

2次式の因数分解の公式の $3$\displaystyle{5}$ 番目の公式より， $3$\displaystyle{ {x}^{2}- {2}^{2}= $ x+2 $ $ x- 2 $ }$ と因数分解できるので，ヒントの(1)式より

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 4 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+2 \hspace{2}} $ }$

よって

与式 $3$\displaystyle{=\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+2 \hspace{2}} $ dx }$ 　

不定積分の基本式用いると

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}dx- \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+2 \hspace{2}}dx $ }$

ヒントの(2)式より

$3$\displaystyle{\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\left({ \log \mid x- 2 \mid - \log \mid x+ 2 \mid }\right)+ C}}$ 　　

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\log \| \frac{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}{\hspace{2} x+2 \hspace{2}} \| +C }$ 　　

（ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{a}\frac{\hspace{2}R\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}=\hspace{1}{ \log }_{a}R- \hspace{1}{ \log }_{a}S }$ を参照）

【参考】部分分数分解の他の方法

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 4 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 2 $ $ x+2 $ \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} x+2 \hspace{2}}}$

とおき，両辺に $3$\displaystyle{ $ x- 2 $ $ x+2 $ }$ をかけてやると

$3$\displaystyle{ 1= $ x+2 $ a+ $ x- 2 $ b }$ 　　

このとき， $3$\displaystyle{ x=2 }$ の場合

$3$\displaystyle{1= $ 2+2 $ a}$ 　　　

$3$\displaystyle{a=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ 　　　

また， $3$\displaystyle{ x=- 2 }$ の場合

$3$\displaystyle{1= $ - 2- 2 $ b}$ 　

$3$\displaystyle{b=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ 　

したがって

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- {2}^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} x+2 \hspace{2}} }$ 　　

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+2 \hspace{2}} $ }$ 　　

となる．

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\log \| \frac{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}{\hspace{2} x+2 \hspace{2}} \| +C }$ 　を微分し，積分前の式　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 4 \hspace{2}} }$ 　に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月24日