不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \cos 3x\cos 5xdx }}$ 　　

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}\sin 8x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin 2x+C}$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int \cos xdx=\sin x+C }$ 　　（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \cos }$ の加法定理より

$3$\displaystyle{\cos $ 3x+5x $ }$ $3$\displaystyle{=\cos 3x\cos 5x- \sin 3x\sin 5x}$ 　･･････(3)

（三角関数の積和の公式の導出を参照）

$3$\displaystyle{\cos $ 3x- 5x $ }$ $3$\displaystyle{=\cos 3x\cos 5x+\sin 3x\sin 5x}$ 　･･････(4)

(3)＋(4)より

$3$\displaystyle{\cos $ 3x+5x $ +\cos $ 3x- 5x $ }$ $3$\displaystyle{=2\sin 3x\sin 5x}$ 　　

$3$\displaystyle{ \cos 3x\cos 5x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \cos 8x+\cos $ - 2x $ \} }$ 　　

ここで， $3$\displaystyle{\cos $ - x $ =\cos x}$ 　なので（三角関数の関係式を参照）

$3$\displaystyle{\cos 3x\cos 5x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \cos 8x+\cos 2x $ }$

となる．（三角関数の積和の公式の $3$\displaystyle{2}$ つ目の式を参照）

与式 $3$\displaystyle{=\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \cos 8x+\cos 2x $ dx }$ 　

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \int \cos 8x dx+\int \cos 2x dx $ }$ 　　

（ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ を積分記号 $3$\displaystyle{ \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}\sin 8x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2x $ +C}$ 　　

（方針の公式にあてはめた）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}\sin 8x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin 2x+C}$ 　　

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}\sin 8x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin 2x+C }$ を微分し，積分前の式　 $3$\displaystyle{ \cos 3x\cos 5x }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月24日