不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \sin 3x\sin 5xdx }}$ 　　

■答

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}\sin 8x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin 2x+C }$ 　　（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

■ヒント

三角関数の積和の公式を用い，積分公式が使える形に式を変形する．

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int \cos x dx=\sin x+C }$ 　　（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \cos }$ の加法定理より

$3$\displaystyle{ \cos $ 3x+5x $ }$ $3$\displaystyle{ =\cos 3x\cos 5x- \sin 3x\sin 5x }$ 　･･････(1)

（三角関数の積和の公式の導出を参照）

$3$\displaystyle{ \cos $ 3x- 5x $ }$ $3$\displaystyle{ =\cos 3x\cos 5x+\sin 3x\sin 5x }$ 　･･････(2)

(1)－(2) より　

$3$\displaystyle{ \cos $ 3x+5x $ - \cos $ 3x- 5x $ }$ $3$\displaystyle{= - 2\sin 3x\sin 5x }$ 　　

$3$\displaystyle{ \sin 3x\sin 5x }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \cos 8x- \cos $ - 2x $ \} }$ 　　

ここで， $3$\displaystyle{ \cos $ - x $ =\cos x }$ 　なので（三角関数の関係式を参照）

$3$\displaystyle{ \sin 3x\sin 5x }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \cos 8x- \cos 2x $ }$

となる．（三角関数の積和の公式を参照）

与式 $3$\displaystyle{ =\int - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \cos 8x- \cos 2x $ dx }$ 　

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \int \cos 8x dx- \int \cos 2x dx $ }$ 　　

( $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ を積分記号 $3$\displaystyle{ \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}\sin 8x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2x $ +C {5}\hspace{10} }$ 　

（方針の公式にあてはめる）

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}\sin 8x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin 2x+C }$ 　　

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}\sin 8x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin 2x+C }$ 　を微分し，積分前の式　 $3$\displaystyle{ \sin 3x\sin 5x }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月24日