不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int { \sin }^{3} }xdx }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ - \cos x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \cos }^{3}x+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int {x}^{{\alpha}}dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha}+1 \hspace{2}}{x}^{ {\alpha}+1 }+C }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

三角関数(三角比)の相互関係より

$3$\displaystyle{ { \sin }^{2}x+{ \cos }^{2}x=1 }$ ･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int { \sin }^{3} }xdx }$

始めに(1)の $3$\displaystyle{ { \sin }^{2}x+{ \cos }^{2}x=1 }$ ･･････(2) を変形し

$3$\displaystyle{ { \sin }^{2}x=1- { \cos }^{2}x }$ ･･････(3)

とする

次に

$3$\displaystyle{ { \sin }^{3}x=\sin x{ \sin }^{2}x }$

として，(3)を上式を代入する．

$3$\displaystyle{ { \sin }^{3}x=\sin x $ 1- { \cos }^{2}x $ }$

よって

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int { \sin }^{3}x=\displaystyle{ \int \sin $ 1- { \cos }^{2}x $ } }dx }$

ここで， $3$\displaystyle{ \cos x=t }$ と置いて，置換積分する（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- \sin x}$ →　 $3$\displaystyle{\sin xdx=- dt}$

よって

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \left({ 1- {t}^{2} }\right) }\left({ - 1 }\right)dt}$

$3$\displaystyle{ =- \displaystyle{ \int $ 1- {t}^{2} $ }dt }$

$3$\displaystyle{ =- $ t- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{t}^{3} $ +C }$

（基本となる関数の積分を参照）

$3$\displaystyle{ =- \cos x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \cos }^{3}x+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

●別解

3倍角の公式より

$3$\displaystyle{\sin 3x=3\sin x- 4{\sin }^{3}x}$

$3$\displaystyle{4{\sin }^{3}x=3\sin x- \sin 3x}$

$3$\displaystyle{{\sin }^{3}x=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin 3x}$

が導かれ，これを与式に代入する．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int { \sin }^{3}xdx= }\displaystyle{ \int \left({ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin 3x }\right) }}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cos 3x }\right)+C}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}\cos 3x+C}$ （ $3$C$ は積分定数）

上記計算結果と異なるが，これも解となる．

3倍角の公式 $3$\cos 3x=4{\cos }^{3}x- 3\cos x$ を用いて，式を整理しなおしてみる．

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}\left({ 4{ \cos }^{3}x- 3\cos x }\right)+C}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\cos }^{3}x- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos x+C}$

$3$\displaystyle{=- \cos x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\cos }^{3}x+C}$

となり，上記解と一致した．

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最終更新日： 2025年12月4日