不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 4- 8x } \hspace{2}}dx } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 1- 2x }+C}$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{\alpha }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha +1 }+C } }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 4- 8x } \hspace{2}}dx } }$

被積分関数を

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 4- 8x } \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{ 1- 2x } \hspace{2}} }$

と変形する

$3$\displaystyle{1- 2x=t}$ と置き，置換積分する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- 2}$ →　 $3$\displaystyle{dx=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt}$

よって

与式 $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{t} \hspace{2}}\cdot \left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)dt }}$

( $3$\displaystyle{1- 2x=t}$ ， $3$\displaystyle{dx=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt}$ を代入した)

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\displaystyle{ \int {t}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dt }}$

(ここを参照)

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+1 \hspace{2}}{t}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+1 }+C}$ （ $3$C$ は積分定数）

（ヒントの公式(1)を参照）

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{t}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }+C}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{t}+C}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 1- 2x }+C}$

( $3$\displaystyle{1- 2x=t}$ より変数を $3$t$ から $3$x$ に戻した)

●備考

この公式

$3$\displaystyle{\int f $ ax+b $ dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} F $ ax+b $ +C }$

を使ってもよい．

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 1- 2x }+C}$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 4- 8x } \hspace{2}} }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年6月9日