不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 1- {x}^{2} \hspace{2}}dx } }$

■解説動画

◇積分の動画一覧のページへ

■答

$3$\displaystyle{\log \left|{ \frac{\hspace{2} 1+x \hspace{2}}{\hspace{2} 1- x \hspace{2}} }\right|+C}$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

被積分関数を部分分数に分解する．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 1- {x}^{2} \hspace{2}}dx } }$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1+x }\right)\left({ 1- x }\right) \hspace{2}}dx }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+x \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- x \hspace{2}} }\right)dx }}$

$3$\displaystyle{=\log \left|{ 1+x }\right|- \log \left|{ 1- x }\right|+C}$

以下の2つの公式を使って積分の計算をした．

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} dx=\log \|x\| +C}$ (ここを参照)

$3$\displaystyle{\int f $ ax+b $ dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} F $ ax+b $ +C }$ (ここを参照)

$3$\displaystyle{=\log \frac{\hspace{2} \left|{ 1+x }\right| \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{ 1- x }\right| \hspace{2}}+C}$ （∵対数の計算則： $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}\frac{\hspace{2}R\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}=\hspace{1}{\log }_{a}R- \hspace{1}{\log }_{a}S}$ ）

$3$\displaystyle{=\log \left|{ \frac{\hspace{2} 1+x \hspace{2}}{\hspace{2} 1- x \hspace{2}} }\right|+C}$ （∵絶対値の性質5）

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{\log \left|{ \frac{\hspace{2} 1+x \hspace{2}}{\hspace{2} 1- x \hspace{2}} }\right|+C}$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 1- {x}^{2} \hspace{2}}}$ に戻ることを確認しなさい．

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>> $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 1- {x}^{2} \hspace{2}}dx } }$

最終更新日： 2025年6月9日