基本的な対数方程式の問題

■問題

次の対数方程式を解け．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{3}$x- 1$=\hspace{1}{\log }_{9}$x+1$}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{x=3}$

■解説

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{3}$x- 1$=\hspace{1}{\log }_{9}$x+1$}$ ･･････(1)

最初に真数条件（真数>0）を確認する．

$3$\displaystyle{x- 1> 0,x+1> 0}$

$3$\displaystyle{\Rightarrow x> 1,x> - 1}$

すなわち，真数条件は

$3$\displaystyle{x> 1}$

となる．

与式の右辺を変形する．

底の値を $3$3$ に統一するために，底の変換公式を用いる．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{9}$x+1$}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}$x+1$ \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}9 \hspace{2}}}$ ･･････(2)

(2)の右辺の分母の対数の真数を $3$\displaystyle{ {a}^{r} }$ の形に変形する．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}$x+1$ \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}{3}^{2} \hspace{2}}}$ ･･････(3)

分母の対数に $3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{a}{R}^{t}=t\hspace{1}{ \log }_{a}R }$ の公式を適用すると

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}$x+1$ \hspace{2}}{\hspace{2} 2\hspace{1}{ \log }_{3}3 \hspace{2}}}$

となる．次に $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}a=1}$ より

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}$x+1$ \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

つまり，与式は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{3}$x- 1$}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}$x+1$ \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ･･････(4)