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ポアソン分布

■定義

0,1,2, の値をとる確率変数 X 確率関数(確率分布)

f( x )= e λ λ x x!     ( x=0,1,2, )

となるものを ポアソン分布といい,確率変数 Xはパラメータ λ ポアソン分布 P 0 ( λ ) に従うという.

ポアソン分布 P 0 ( λ ) について

平均 E X =λ

分散 V X =λ

である.

■導出

ポアソン分布は,二項分布 B n,p

平均: E X =np=λ

を一定にして, n にすることによって得られる.

二項分布の確率関数

f ( x ) = C x n p x q n x

= x=1 n xn! x! nx ! p x q nx  組合わせ C r n を参照)

に, p= λ n を代入する.

f x = n! x! nx ! p x 1p nx

= 1 x! n n1 n2 nx+1 p x 1p nx

= 1 x! n n1 n2 nx+1 λ n x 1 λ n nx

= λ x x! n n n1 n n2 n nx+1 n 1 λ n nx

= λ x x! 1 1 1 n 1 2 n 1 x1 n 1 λ n x 1 λ n n

n のとき

1 1 n 1

1 2 n 1

     

1 x1 n 1

1 λ n x 1

1 λ n n = 1 λ n n λ λ e λ  (∵自然対数の底 e の定義

備考: x=0,1,2, となっているが, f x の値を求めるときは,x は有限の値になっている.

となる.よって

f( x )= e λ λ x x!

が得られる.

ポアソン分布を導出するときの前提,「平均: λ=E X =np を一定にする」ことより

E X =λ

n のとき, λ=E X =np を一定より, p0 ,さらに, p+q=1 より, q1 となる.よって

V X =npq=λ1=λ

である.

 

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最終更新日: 2024年2月10日

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