公式の証明

$f (D) e^{α x} = f (α) e^{α x}$

■証明

$D e^{α x} = α e^{α x}$ ， $D^{2} e^{α x} = α^{2} e^{α x}$ ，･･･， $D^{n} e^{α x} = α^{n} e^{α x}$ ，･･･

が成り立つ．

$f (D) = D^{n} + a_{n - 1} D^{n - 1} + \dots + a_{2} D^{2} + a_{1} D + a_{0}$

として証明する．

$f (D) e^{α x}$ $= (D^{n} + a_{n - 1} D^{n - 1} + \dots + a_{2} D^{2} + a_{1} D + a_{0}) e^{α x}$

$= D^{n} e^{α x} + a_{n - 1} D^{n - 1} e^{α x} + \dots + a_{2} D^{2} e^{α x} + a_{1} D e^{α x} + a_{0} e^{α x}$

$= α^{n} e^{α x} + a_{n - 1} α^{n - 1} e^{α x} + \dots + a_{2} α^{2} e^{α x} + a_{1} α e^{α x} + a_{0} e^{α x}$

$= (α^{n} + a_{n - 1} α^{n - 1} + \dots + a_{2} α^{2} + a_{1} α + a_{0}) e^{α x}$

$= f (α) e^{α x}$

よって

$f (D) e^{α x} = f (α) e^{α x}$

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年6月8日