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式の導出

${\displaystyle \frac{1}{{\left(D-\alpha \right)}^n}F\left(x\right)}$${\displaystyle =e^{\alpha x}\int \cdot \cdot \cdot \int e^{-\alpha x}F\left(x\right)dx\cdot \cdot \cdot dx}$  

■導出

${\displaystyle n=2}$ として証明する．逆演算子の公式

${\displaystyle \frac{1}{D-\alpha }F\left(x\right)=e^{\alpha x}\int e^{-\alpha x}F\left(x\right)dx}$  ⇒詳細

を利用すると

${\displaystyle \frac{1}{{\left(D-\alpha \right)}^2}F\left(x\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{D-\alpha }\left(\frac{1}{D-\alpha }F\left(x\right)\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{D-\alpha }\left(e^{\alpha x}{\displaystyle \int e^{-\alpha x}F\left(x\right)dx}\right)}$

${\displaystyle =e^{\alpha x}{\displaystyle \int e^{-\alpha x}\left(e^{\alpha x}{\displaystyle \int e^{-\alpha x}F\left(x\right)dx}\right)dx}}$

${\displaystyle =e^{\alpha x}{\displaystyle \iint e^{-\alpha x}F\left(x\right)dxdx}}$

${\displaystyle n=3,4,\cdots }$ の場合も同様に証明できる．

 

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　最終更新日： 2023年6月9日

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