逆演算子の公式

■逆演算子の公式

1. ${\displaystyle \frac{1}{D}F\left(x\right)=\int F\left(x\right)dx}$    ⇒導出
2. ${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left\{cF\left(x\right)\right\}=c\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)}$    ⇒導出
3. ${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left\{F\left(x\right)+G\left(x\right)\right\}=\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)+\frac{1}{f\left(D\right)}G\left(x\right)}$    ⇒導出
4. ${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}{e}^{\alpha x}=\frac{1}{f\left(\alpha \right)}{e}^{\alpha x }}$ 　　 ${\displaystyle \left(f\left(\alpha \right)\ne 0\right)}$    ⇒導出
5. ${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)=e^{\alpha x}\frac{1}{f\left(D+\alpha \right)}\left[e^{-\alpha x}F\left(x\right)\right]}$    ⇒導出
6. ${\displaystyle \frac{1}{D-\alpha }F\left(x\right)=e^{\alpha x}\int e^{-\alpha x}F\left(x\right)dx}$    ⇒導出
7. ${\displaystyle \frac{1}{{\left(D-\alpha \right)}^n}F\left(x\right)=e^{\alpha x}\int \cdot \cdot \cdot \int e^{-\alpha x}F\left(x\right)dx\cdot \cdot \cdot dx}$    ⇒導出
8. ${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left[k{e}^{i\alpha x}\right]=\xi \left(x\right)+\eta \left(x\right)i}$  ならば

   ${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left[kcos\alpha x\right]=\xi \left(x\right),}$${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left[ksin\alpha x\right]=\eta \left(x\right)}$    ⇒導出

9. ${\displaystyle \frac{1}{D^2+a^2}cosax=\frac{1}{2a}xsinax}$    ⇒導出
10. ${\displaystyle \frac{1}{D^2+a^2}sinax=-\frac{1}{2a}xcosax}$    ⇒導出
11. ${\displaystyle F\left(x\right)}$が多項式の場合，${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)}$を計算するのに次の展開を利用することがある．

    ${\displaystyle \frac{1}{1-aD}=1+aD+a^2{D}^2+a^3{D}^3+\cdot \cdot \cdot }$   ⇒導出

12. ${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left[e^{\alpha x}F\left(x\right)\right]=e^{\alpha x}\frac{1}{\left(D-\alpha \right)}F\left(x\right)}$    ⇒導出

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学生スタッフ作成
初版：2009年1月21日，最終更新日： 2011年8月30日